1°) Il faut faire un petit shéma.

Ensuite, on remarque que le point C se promène sur un axe parallèle
à (Oy)  qui passe par l' abscisse x = 1.

en effet P est le cercle de centre C qui est tangent à (Oy) et à la
droite passant par A est // à (Oy). son abscisse est donc : 2/2 =
1

l' ordonnée du point C est : b  =>  C(1,b)

Le rayon du cercle P est 1 .

D'où l' équation de P :

  (x-1)²+(y-b)² = 1

2°) Dans le cas particulier où P est tangent à l' axe des abscisses,
  
   b vaut 1 car  le rayon de P est 1 et p doit être tangent à (Ox)
.

D'où l' équation de P :  (x-1)²+(y-1)² = 1

Ce cercle est alors tangent intérieurement au cercle Q.

Cherchons l' intersection des cercles P et Q :

    (x-1)²+(y-1)² = 1      <=> x²+y² -2x-2y +2= 1
    et x²+y²-4 = 0                    et x²+y²-4 = 0


<=> x²+y² -2x-2y +1= 0    d'où   2(x+y)=5
    et x²+y²-4 = 0                             et x²+y²-4 = 0  

   soit x = 5/2 -y  
   et    (5/2 -y )²+ y ² =4  


(5/2 -y )²+ y ² =4  donne : 25/4 + y² -5y+y² = 4
                                     soit :  2y²-5y + 9/4 = 0

On reconnait un trinôme du second degré.


Le discriminant vaut :  D= 25-18 = 7

d'où 2 racines :  x1= 5-racine(7)   et x2= 5+racine(7)
                                     ------------                --------------
                                              4                  
            4

  et  y1 = 5+racine(7)             y2=   5 - racine(7)
               --------------                        ---------------
                       4                                        
4



    Appellons M1(x1;y1)  et M2(x2;y2)


la tangente commune en M1 est obtenue en écrivant
   que le produit scalaire : OM1.MM1 = 0  avec M(x,y).

    soit :   x1.(x1-x) + y1(y1-y)=0
                x1²-xx1 + y1²-yy1 = 0

En remplaçant  :

     (1/16)* (  25+7-10*racine(7)+25+7+10*racine(7))
      
     1/4 * (-5x  +x racine(7) ) +1/4 * (-5y  -y racine(7) )  = 0

Soit  :   64  -20x +4racine(7)*x  -20y -4racine(7) y = 0

Soit  :  x(-20+40racine(7)) - y (20 + 4racine7)+ 64  = 0



On fait de même  pour trouver l' équation de la tangente en M2.