soit un carré ABCD. on le triangle équilatéral ABI à l'interieur
du carré et le triangle équilatéral BCJ à l'extérieur du carré.
Pour répondre aux questions, on utilise le repère orthonormal
(A,AB,AD)
a) determiner les coordonnées de I et de J
b) demontrer que les points D,I et J SONT alignées
c) prouver que les droites (BI) et (BJ) sont perpendiculaires
bonjour. permettez moi de vous répondre.
Pour commencer on va supposer que le coté du carré est 1. Cela permet
simplement de simplifier les calculs en ne trainant pas le coté du
carré.
a) dans le repère (A,AB,AD) le point I a pour coordonnées:
AI=(1/2)AB+(rc(3)/2)AD ; ici AB et AD sont des vecteurs et rc() désigne la racine carré.
Pour le point J:
AJ=AB+BJ ; chasles
= AB + (rc(3)/2)AB+(1/2)AD
= (1+(rc(3)/2))AB+(1/2)AD
b) pour montrer que D,I et J sont alignés on va montré que:
DI et DJ sont liés.
DI=DA+AI=-AD+(1/2)AB+(rc(3)/2)AD
=(1/2)AB+(-1+rc(3)/2)AD
DJ=DA+AJ=-AD+(1+(rc(3)/2))AB+(1/2)AD
= (1+(rc(3)/2))AB+(-1/2)AD
det(DI,DJ)=(1/2)(-1/2)-(1+(rc(3)/2))(-1+(rc(3)/2))
=-1/4+(1-3/4)
= -1/4+1/4
=0
det(DI,DJ)=0 donc la famille (DI,DJ) est liée donc les trois point D,I et J sont
alignés.
c) BI est perpondiculaire à BJ ssi le produit scalaire BI*BJ=0
BI=BA+AI=-AB+(1/2)AB+(rc(3)/2)AD
=(-1/2)AB+(rc(3)/2)AD
BJ=BA+AJ
=-AB+(1+(rc(3)/2))AB+(1/2)AD
= (rc(3)/2)AB+(1/2)AD
BI*BJ=(-1/2)(rc(3)/2)+(rc(3)/2)(1/2)
= -(rc(3)/4)+(rc(3)/4)
= 0
donc les droit BI et BJ sont perpendiculaires
voila bon courage
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