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Produits scalaires

Posté par
Keryansimaer
18-04-19 à 01:36

Bonjour
Je suis actuellement sur cette exercice et je n'y arrive pas du tout...si quelqu'un pourrait m'aider ce serait très gentil de sa part!
Voici les questions:
1)Montrer que alpha+ beta=pi/4
2)Le point I est le milieu de [BC],J est le point d'intersection de (OB) et du deuxième carré et K le sommet du premier carré.Ces trois points sont-ils alignés?
On pourra commencer par calculer cos(alpha),sin(alpha),cos(beta) et sin(beta)
Merci d'avance

Produits scalaires

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 02:27

Bonjour,
les indications de l'énoncé sur le calcul des sinus et cosinus donnent des calculs affreux, même s'ils finissent par aboutir
la bonne méthode est de calculer les tangentes !!

on est amené à démontrer (en littéral et dans le cas général) la formule de tan(a+b) en fonction de tan(a) et tan(b) si on ne la connait pas déja
ça se fait en appliquant la définition de tangente et les formules d'addition pour sinus(a+b) et cos(a+b)
(ce qui se fait en deux lignes!)

il y a aussi une démonstration purement géométrique et sans aucun calcul à condition de rajouter des carrés à la figure... (de la dessiner sur un quadrillage plus complet)

l'alignement se prouve de façon purement géométrique par une symétrie en ajoutant un carré à droite.
ou par Thalès en ajoutant le milieu d'un côté du carré de droite (ajouter des noms de points là où on en a besoin)

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 07:58

Pour la 1)
On sait que tan(a+b) =tan(a)+tan(b) alors
tan(pi/4)=tan(alpha)+tan(beta)...?

2)J'ai ajouté un carré à la figure et je vois qu'ils ont alignés mais comment le démontrer avec Thalès?

Produits scalaires

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 10:00

Citation :
On sait que tan(a+b) =tan(a)+tan(b)
certainement pas !!!
tu prétends donc que tan(90°) (qui n'existe même pas !!) est égale à 2 :
tan(45°+45°) = tan(45°)+tan(45°) = 1+1 selon toi ???

soit tu connais la vraie formule
soit tu la démontres sérieusement comme j'ai dit
à partir de cos(a+b) et sin(a+b)
qui n'est certainement pas non plus cos(a)+cos(b) ni sin(a)+sin(b) !!
tan (a+b) = sin(a+b)/cos(a+b )= .... / ... etc

et puis les valeurs des tan de cette figure il faut les calculer !! (enfin calculer c'est un grand mot, elles s'obtiennent "instantanément" par la définition)

ou si tu préfères suivre les conseils de l'énoncé, calculer les valeurs des sinus et cosinus, affreuses, et les mettre dans la formule de cos(a+b) directement

là aussi la vraie formule, pas des inventions loufoques
et si tu ne connais aucune de ces formules on fera autrement, dommage c'est beaucoup plus long, alors cherche bien dans ton cours

tous ces calculs doivent être faits en valeurs exactes (donc avec des fractions écrites en fraction et des racines carrées écrites √ ) et pas à la calculette.

2) pour Thalès ce n'est pas ça qu'il faut faire mais ajouter le milieu d'un côté de carré existant comme je l'ai dit.
celui opposé à AC bien sûr.
(et nommes tous les points de la figure, na !)

ajouter un 4ème carré sur AB est une autre méthode qui n'a rien à voir avec Thalès, laisse tomber tu n'en comprends pas l'élégance.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 10:18

Citation :
dommage c'est beaucoup plus long,
en fait non
(mais ça n'a rien à voir non plus avec l'indice de l'énoncé qui s'avère donc être un piège)
Avec comme titre et classement dans la rubrique "produit scalaire" on peut :

Produits scalaires

calculer le produit scalaire \vec{DE}.\vec{DB} de deux façons

par des coordonnées
et par la formule \vec{DE}.\vec{DB} = \|\vec{DE}\|\times\|\vec{DB}\|\times\cos(angle)

cela donnera la valeur de l'angle cos(α+β), à comparer avec celle de cos(45°)

(mais bon c'est une méthode marteau pilon, à partir du mement où on a créé le point E la conclusion est instantanée sans aucun calcul )

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 12:36

Si on considere le repère O,OQ,OH
Alors les coordonnées des points E,D et B seront
E(4;-1)
D(1:0)
B(3;1)
Après calculs j'obtiens
Vecteur DE(1/3;-1) et vecteur DB (1/2;1)
On obtient donc
DE*DB=-5/6 ?

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 12:37

Mais après je ne sais pas...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 12:51

coordonnées fausses
c'est comme dans ton autre exo

le repère le plus "naturel" ici c'est (O; OD; OQ)

dans ton (O,OQ,OH)
(OQ) est l'axe des abscisses, l'unité le long de cet axe est OQ
l'abscisse de E est donc -1

(OH) est l'axe des ordonnées, et OH = 1 par définition
(c'est pas des cm les coordonnées dans un repère !!!)
donc l'ordonnée de E c'est 1

dans ton repère E (-1; 1) !!!

mais comme de toute façon pour pouvoir faire un produit scalaire il est nécessaire que le repère soit orthonormé

il faut choisir le repère que je te dis (ou un autre dans lequel les unités sont égales au côté d'un carré, par exemple (D; DC; DK))

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:04

Donc dans le repère D,DC,DK les coordonnées du point E sera (3;-1)?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:06

Oui.

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:16

Mais même en ayant changer les coordonnés des point j obtiens DE*DB=-5/6....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:24

certainement pas !!
car il est visible que l'angle des deux vecteurs est aigu donc le produit scalaire est forcément >0

détails de tes coordonnées et calculs.

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:31

E(3;1),B(2;1)et D(0;0)
Vecteur DE: x=1/(3-0)=1/3
                            y=-1-0=-1
Vecteur DB:x=1/(2-0)=1/2
                            y=1/(1-0)
DE*DB=(1/3)*(1/2)+(-1)*1
                =1/6+(-1)
                =-5/6

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:34

d'ailleurs dans ce repère les coordonnées des vecteurs sont toutes entières (dans ) et donc le produit scalaire est un nombre entier et je ne vois vraiment pas d'où peut sortir ta fraction là dedans !!

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:37

Du coup comment on fait?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:41



E(3;1) faux on vient de dire que c'est (3; -1)
mais bon admetttone faute de frappe (vi que tinreperends bei -1 ensuite)

Vecteur DE: x=1/(3-0)=1/3 bein voyons ....
revoir soigneusement le cours sur la façon de calculer les coordonnées d'un vecteur !!!!

tu confonds avec autre chose sans aucun rapport !

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 18-04-19 à 13:52

J ai refait les calculs et  j arrive à DE*DB= 5

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 18-04-19 à 14:00

OK pour 5

maintenant reprends ce que j'ai dit :

Citation :
calculer le produit scalaire \vec{DE}.\vec{DB} de deux façons

par des coordonnées c'est fait = 5

et par la formule \vec{DE}.\vec{DB} = \|\vec{DE}\|\times\|\vec{DB}\|\times\cos(angle) à faire

calcul des normes des deux vecteurs et :
cela donnera la valeur de l'angle : cos(α+β), à comparer avec celle de cos(45°)

en effet 5 (qu'on vient de calculer) = \|\vec{DE}\|\times\|\vec{DB}\|\times\cos(angle)
la seule inconnue là dedans c'est le cos(angle) !!

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 19-04-19 à 08:40

Mais il manque les vecteurs DE et DB

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 19-04-19 à 08:47

mais tu les as ces vecteurs, tu viens de les calculer !!!
alors RIEN ne t'empêche d'en calculer la norme.

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 19-04-19 à 08:54

Alors 5=5×cos angle
45=cos angle
Donc cos(alpha + beta)=cos(45)?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 19-04-19 à 09:09

calcul complètement faux écrit pour faire illusion que tu prétends avoir fait un calcul alors que tu nous bourres le mou.

Alors 5=5×cos angle complètement faux
ça voudrait dire que cos(angle ) =1 et donc que angle = 0 !!

\vec{DE} = (...; ...) ??? \\ \vec{DB} = (...; ...) ??? tu les as ces coordonnées, sinon comment diable as tu calculé le produit scalaire ???
alors :
\|\vec{DE}\| = ??? \\ \|\vec{DB}\| = ???

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 19-04-19 à 09:18

DE=1/3+(-1)=-2/3
DB=1/2+1=2/3

5=-2/3 *2/3 *cos(angle)
5=-4/9 * cos(angle)
Cos angle = 5/-4/9=-11,25...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 19-04-19 à 09:25

totalement n'importe quoi

d'où diable sortent tes 1/3 ???? complètement absurde !
donc en fait ton produit scalaire = 5 tu ne l'as pas calculé du tout non plus !!
tu l'as balancé parce que quelqu'un d'autre t'en a donné la valeur ???
tu te fiches de qui ???

réponds à mes questions dans l'ordre et explicitement
et va réviser ton cours sur comment on calcule la norme d'un vecteur

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 19-04-19 à 09:58

DB=racine carree de 5 et DE=racine carrée de 10
Alors 5=racine carrée de 5*racine carree de 10*cos(angle)
5=5racine carrée de 2*cos(angle)
Cos (angle)=5/(5racine carrée de 2)
=(racine de 2)/2

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 19-04-19 à 10:31

oui, là c'est bon
et par ailleurs cos(45°) = ??

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 19-04-19 à 10:48

Par ailleurs cos(45)=racine de2/2
Donc cos(45)=cos(alpha+beta) !
Et du coup pour la 2) J ai ajouté le point Z milieu de FB et opposé à AC mais comment montrer que les trois points sont alignés...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 19-04-19 à 11:10

voila et si les cosinus sont égaux, les angles sont égaux (au signe près, mais ici les angles ne sont pas signés) et c'est terminé.

2)
Produits scalaires
et tu n'as vraiment aucune idée de Thalès là dedans ???
avec KIZ d'une part et le point J' intersection de KI et de CF
et BOQ d'autre part avec J intersection de OB et CF de l'énoncé
il s'agit de démontrer que J et J' sont le même point
c'est à dire que FJ' = FJ

autre méthode
calculer les tangentes des angles IKZ et JKF
autre méthode
calculer les coordonnées des vecteurs KI et KJ et montrer qu'ils sont colinéaires
etc...

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 20-04-19 à 05:51

Je préfère montrer si ils sont colinéaires ou pas.

On a dans le repère D,DC,DK les coordonnées des points K,I et J qui sont
K(0;1) I(1;2/3) et J(2,5;0,5)
On a alors les coordonnées des vecteurs KI et KJ
KI(2,5;-0,5) et KJ(1;-1/3)
Si ces deux vecteurs sont colinéaires,cela revient à dire qu'il existe un réel k tel que KI=k*KJ

On calcule alors:
KI=k*KJ
(2,5;-0,5)=k*(1;-1/3)

2,5=1k      et -0,5=k*(-1/3)
k=2,5         et k=1,5
Ayant des réels k différents, les vecteurs KI et KJ ne sont pas colinéaires par conséquent les points K, I et J ne sont pas alignés....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 20-04-19 à 07:30

tes coordonnées de I sont fausses, (ou plutôt celles que tu donnes, c'est celle de J !!)
tes coordonnées de J sont fausses (celles là elles ne correspondent à rien dans ce repère là)

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 20-04-19 à 09:56

K(0;1)  J(1;2/3) I(1,5;0,5)
KI(1,5;-0,5)
KJ(1;-1/3)

KI=k*KJ
(1,5;-0,5)=k*(1;-1/3)

1,5=1k    et    -0,5=k*(-1/3)
k=1,5/1    et   k=  -0,5/(-1/3)
k=1,5    et k= 1,5
Les vecteurs KI et KJ sont donc colinéaires et les points K,I et J sont alignés !!!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produits scalaires 20-04-19 à 11:26

Ouiiii !!

Posté par
Keryansimaer
re : Produits scalaires 21-04-19 à 06:58

Merci beaucoup mathafou de m'avoir aider et d'avoir été là pour moi !Merci!



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