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Produits scalaires dans le plan : le billard américain
Bonjour où plutôt bonsoir, je vous écrit en l'honneur d'un petit problème mathématique 
Il s'agit d'un exercice sur les produit scalaires dans le plan :
On considère un billard amèricain rectangulaire ABCD, tel que AD=a et AB=b.
Une boule placée au centre O du billard rentre dans le trou placé en A, après un seul rebond sur la bande (CD). On s'aperçoit alors que (IA) est orthogonale à la droite (BD).
Quel est le format du rectangle ?
Le format du rectangle est donc le rapport b/a . Pour trouver ce rapport nous avons été quelque peu initier par notre professeur, mais je reste dans le flou total pour trouver ce rapport :/ :
-Donc tout d'abord j'ai réalisé le dessin en rajoutant le projeté orthogonal de O sur DC que nous nommerons H.
-D'après les angles de réfraction on s'aperçoit que les triangles ADI et OHI sont semblables.
-Notre professeur nous a orienté en nous disant de choisir un repère afin d'avoir les coordonnées des points et donc des vecteurs.
La commence mon embarras ... quel repère choisir : j'ai opté pour un repère tout simple (D, vecDA , vecDC ) avec vecDA = a et vecDC = b
Suite a ceci le problème était le suivant que faire pour obtenir le rapport b/a :S
Puis je me suis dit que l'on pouvait utilisé l'orthogonalité de AI et de OD
car vecAI . vecOD = 0
De plus j'ai nommé DI (x) afin de tenté vainement le calcul ...
J'aimerais donc savoir si je suis sur une bonne piste (si oui je pourrai vous fournir mes calculs afin de voir le couac) ou sinon que vous m'aidiez a comprendre ce que l'on attend de moi pour résoudre ceci
En vous remerciant d'avance pour votre aide
ci joint mon dessin 
bonsoir,
j'ai trouvé une solution vectorielle à vérifier toutefois parce qu'il est tard...
en vecteurs:
AI.DB=0
(AD + DI).(DA + AB )= 0 en développant et en supprimant les produits nuls par orthogonalité il vient:
-a² +xb =0 (1)
d'autre part :
dans le triangle DAI tgDAI= x/a
dans le triangle HOI tgHOI=(b/2 -x) / (a/2) = (b-2x) /a
de l'égalite de ces deux tangentes (angles egaux) on tire: x=b/3 que l'on reporte dans (1)
on obtient: -a²+b²/3 = 0 soit après calculs a²/b² = 1/3 et donc a/b =1/
3
sauf erreur.
AI.DB=0
AI(x,-a) DB(b,a) donc xb-a^2 = 0 (1)
de plus les triangles ADI et OHI sont semblables AD/OH=DI/HI
d'où a/(a/2)=x/((b/2)-x)->x=b/3
(1) -> (b/3)b = a^2
a/b = 1/rac(3)
Je vous remercie grandement de votre aide précieuse
A bientôt et encore merci !!!
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