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Produits scalaires dans un carré

Posté par
jouly14
17-04-12 à 14:14

ABCD est un carré de côté 1. On construit les points E et F tels que :
CE= 3/2 CD   et BF= 3/2 BC      (vecteurs)

Démontrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires :
1) par calcul vectoriel.
2) En se plaçant dans le repère orthonormé (B;C;A)


   Si qqn à des idées.. Merci

Posté par
cauchy77
re : Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 14:18

bonjour

Posté par
prbebo
Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 14:19

Bonjour jouly14,

oui j'ai une idée : si tu disais bonjour avant d'exposer ton problème ?

Prbebo.

Posté par
cauchy77
re : Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 14:20

bonjour prbebo
ça fait plaisir un petit bonjour, non?

Posté par
jouly14
Désolé, je vais la refaire.. 17-04-12 à 14:51

Bonjour, je suis en difficultés sur un exercice de produits scalaires, je pige rien..

ABCD est un carré de côté 1. On construit les points E et F tels que :
CE= 3/2 CD   et BF= 3/2 BC      (vecteurs)

Démontrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires :
1) par calcul vectoriel.
2) En se plaçant dans le repère orthonormé (B;C;A)


Si qqn a des idées..

Posté par
Liju02
Pb de maths 17-04-12 à 15:08

Bonjour, je suis en 1ere et j'ai un DNS à faire pour la rentrée.
Ce dernier est presque finit, mais je pêche sur un exercice..

ABCD est un carré de côté 1. On construit les points E et F tels que :
vecteur CE = 3/2 du vecteur CD   et vecteur BF = 3/2 du vecteur BC      

¤ Démontrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires :
1) Par des calculs vectoriels.
2) Avec le repère orthonormé (B;C;A)

*** message déplacé ***

Posté par
Liju02
re : Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 15:11

J'ai le meme exercice que toi et j'en suis au meme point... :S

Posté par
prbebo
Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 15:21

OK. Alors, la première chose à faire : une figure. Commence par dessiner un carré, pas trop grand. Puis, pour placer le point E, c'est facile : on te dit que CE = 3/2 CD (je mets les vecteurs en gras). Ca veut dire 2 choses : 1, que les points C, D et E sont alignés dans cet ordre ; 2, que la longueur du segment CE vaut 1,5 fois celle du segment CD.
Tu prolonges donc le coté CD dans le sens C -> D d'une demi unité de longueur, et tu obtiens le point C.
Meme construction pour obtenir le point F, qui se trouve aligné aveec B et C et tel que C est entre B et F.

Pour la question 1, on écrit AF = AB +BF et BE = BC + CE (tout ça en vecteurs). Fais alors le produit scalaire de AF par BE et tu obtiendras 4 termes dont deux sont nuls (AB.BC et CE.BF, car vecteurs perpendiculaires), et les deux autres sont égaux et opposés. Donc AF.BE = 0 entraine AF BE.
On verra ensuite pour la question 2.

Prbebo.

Posté par
prbebo
Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 15:25

Bonjour Liju02,

si tu as lu ma réponse à jouly14, alors fais comme je l'ai expliqué : quand la figure sera faite, le reste ira tout seul.

Prbebo.

Posté par
watik
re : Pb de maths 17-04-12 à 15:33

bonjour

1) AF=AB+BF=AB+(3/2)BC   ; en vecteurs
BE=BC+CE=BC+(3/2)CD=(-3/2)AB+BC  ; car CD=-AB
donc
AF.BE=(AB+(3/2)BC).((-3/2)AB+BC)=(-3/2)AB²+AB.BC+(-9/4)BC.AB+(3/2)BC²
     =(-3/2)+(3/2)   ; car AB²=1 et BC²=1 et AB.BC=0
     =0
donc
(AF) perpendiculaire à (BE)

2) (B;C;A) repère prthonormée direct
dans ce repère:
C(1;0)
A(0;1)
E(1;3/2)
F(3/2;0)

AF(xF-xA;yF-yA)=(3/2;-1)
BE(1;3/2)
donc
AF.BE=(3/2)(1)+(-1)(3/2)=3/2-3/2=0

*** message déplacé ***

Posté par
jouly14
re : Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 15:36

Merci Prbebo pour la question 1, tu expliques trop bien
Tu as du tps pour m'expliquer la deuxieme façon de faire ?

Posté par
Nofutur2
re : Pb de maths 17-04-12 à 15:36

1)produit scalaire AF.BE en décomposant AF=AB+BF et BE=BC+CE

*** message déplacé ***

Posté par
Liju02
re : Pb de maths 17-04-12 à 16:32

Merci bcp, sans vous j'y serai encore, et pour très longtps..  

*** message déplacé ***

Posté par
prbebo
Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 17:53

Avec plaisir. Pour ca il faut que je raisonne sur une figure, aussi regarde celle que j'ai faite ci-dessous. Il est possible qu'elle ne soit pas comem la tienne, ca depend comment on place les points A, B, C et D sur le carre.
De meme, la phrase de ton enonce "le repère orthonormé (B;C;A)" est ambigue car elle ne dit pas ou est l'origine du repere, ni comment sont les deux axes. Aussi je vais choisir mon repere moi-meme, tu n'auras qu'a adapter mon corrige au repere demande dans ton exercice, car de toutes facons les calculs sont vraiment identiques.

Je vais donc choisir comme repere les cotes AB et AD, donc il a pour origine A, pour axe des abscisses AB, et pour axe des ordonnees AD.
Marche a suivre : pour montrer que les droites BE et AF sont perpendiculaires, il faut exprimer les coordonnees des vecteurs BE et AF dans le repere choisi, puis faire leur produit scalcaire : si ce produit est nul, c'est gagne.

Coordonnees des points :
A(0;0) ; B (1;0) ; E(-1/2;1) ; F(1;3/2).
Coordonnees des vecteurs :
BE = AE - AB = (-3/2;1) ; AF = (1;3/2).
Il faut que tu revises comment on calcule un produit scalaire quand les vecteurs sont projetes sur une base orthonormale : c'est xx' + yy', ou x et y sont les coordonnees du premier vecteur, x' et y' celles du second.
Si tu calcules BE.AF avec les coordonnees trouvees ci-dessus, tu vas obtenir 0 : donc les deux vecteurs sont bien perpendiculaires.

J'ai change d'ordi depuis tout a l'heure et je suis ici avec un clavier americain, c'est pourquoi il n'y a plus d'accentuation dans mes messages.

Si tu as des questions n'hesite pas.

Prbebo.

Posté par
prbebo
Produits scalaires dans un carré 17-04-12 à 17:54

oups, j'ai oublie d'accrocher la figure a mon post precedent. La voici.

Produits scalaires dans un carré



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