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produits scalaires en geometrie.
Coucou à tous , j'ai un petit problème avec un exercice de mon dm de maths, j'espere que vous allez pouvoir m'aider.
énoncé:
Soit ABCD un carré de coté a. On note I,J et M les milieux des segments [AB],[AD] et [AI] puis H le projeté othogonal de A sur la droite (DI).
On se propose de demontrer de trois facons differentes, que (JH) et (HM) sont perpendiculaires. (pour mieux comprendre il faut faire la figure).
1. Calculer les longueurs HM,HJ et MJ en fonction de a.
Conclure.
2.a. montrer que HA+Hi=2HM et que HA+HD=2HJ (se sont tous des vecteurs)
b. en deduire que 4HM.HJ=HA²+HI.HD ( se sont tous des vecteurs)
c.demontrer que AI.AD=AH²+HI.HD. (se sont tous des vecteurs)
d.Conclure.
3.On considere le repere orthonormal (A;AB;AD) (avec AB et AD des vecteurs).
a.determiner une equation de la droite (DI) et de la droite (AH).
b.En deduire les coordonnées de H et conclure.
Merci a tous d'avance!
bonjour
1/HM=MA=a/4
HJ=AJ=a/2
proprietes des medianes d'un triangle rectangle
MJ =a
5/4 d'apres pythagor
les angles en A et H sont droits.
2/a on a HA+HI=2HM et HA+HD= 2HJ car si apartir de I A D on trace les rectangles ayant comme cote commun HA HM et HJ sont les demi diagonales donc vectorieleement ces egalites sont bien respectees.
b.4HM*HJ=HA^2+ HI*HD
on a vu dans a quue 4HM*HJ= (HA+HI)(HA+HD)
faisons les produits scalaires du second membre
on a HA*HD et HA*HI = 0 car perpendiculaires et il reste HA^2+HD*HI cqfd
c. AI*AD = 0 Car perpendiculaire
mais AI*AD = (AH+HI)(AH+HD)=4HM*HJ=HA^2+HI*HD=0
don HM et HJ sont perpendiculaires
3/ a equation de DI : y=-(1/2)x+a/2
AH y= 2x
et si on fait le produit scalaire HM*HJ
coordonnees des vecteurs HM[-a/5,-3a/20]
HJ[3a/10,-2a/5]
donc -(3a^2)/50+(6a^2)/10=0 cqfd
je viens de me rappeler que ce probleme a deja ete traite hier ou avant hier tant pis ou tant mieux s'il n'est pas trop tard.
bonne journee
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