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Projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe

Posté par
masape
17-03-12 à 16:24

Bonjour !

Je ne comprend une formule donnée dans mon cours sur le produit scalaire
soit le vecteur u vecteur directeur d'un axe et v un vecteur du plan
on appelle v' le projeté orthogonal de v sur l'axe
v' = (u * v ) u
(excusez moi je ne sais pas comment faire le point du produit scalaire)

Quand utilise-t-on cette formule ? Peut-elle servir dans des démonstrations d'égalité ?
Auriez vous un exemple concret appliquant cette formule ?

Merci

Posté par
gaa
re : Projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe 17-03-12 à 22:24

Bonsoir
la définition d'un produit scalaire de deux vecteurs u et v c'est
.=u*vcos étant l'angle que les 2 vecteurs font entre eux
or si tu regardes ce que représente vcos, tu vois que c'est la longueur de la projection de sur le support de ou indifféremment la projection de sur le support de
(comme cos(-)=cos, le sens de la projection ne joue pas.)

Le produit scalaire est souvent utilisé pour la démonstration de la perpendicularité de deux droites (comme cos/2=0,)
si le produit scalaire est égal à 0, c'est que les droites support des deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux

Une autre application est de trouver un produit scalaire par une décomposition de vecteurs à l'aide du théorème de Chasles et de pouvoir ainsi calculer l'angle de deux droites support des vecteurs (dont tu as calculé longueurs par un autre moyen)

Posté par
Pierre_D
re : Projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe 17-03-12 à 22:36

Bonjour Masape,

Ta formule n'est vraie que si  \small\vec u   est un vecteur directeur unitaire de l'axe sur lequel on projette, et encore à condition de l'écrire correctement :  \small \vec {v'}=(\vec u\cdot\vec v)\vec u.
Si sa longueur n'est pas 1, la formule correcte est  \small \vec {v'}=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{||\vec u||^2}\vec u  où  \small||\vec u||=\text{longueur de }\vec u

A part ça, note que par définition  \small\vec u\cdot\vec v = ||\vec u||\,||\vec v||\,\cos(\vec u,\vec v) .

Posté par
masape
re : Projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe 20-03-12 à 16:06

Merci pour vos réponses



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