Niveau Master Maths

Propriété de la moyenne

Posté par
KCJV 30-11-21 à 22:35

Bonjour, bonsoir tout le monde,
Je suis bloqué sur l'un des deux sens de l'équivalence suivante :

Citation :

Soient U un ouvert de

et f

C⁰(U,

), à l'aide d'un changement de variables en coordonnées polaires, montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout disque fermé D := D_F (a, r) contenu dans U, $f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(a+re^{it})\,{\rm d}t$ ;
(ii) Pour tout disque fermé D := D_F (a, r) contenu dans U, $f(a)=\frac{1}{r^2\pi}\iint_D f(x+iy)\,{\rm d}x{\rm d}y$ .

Le sens (i)

(ii) ne m'a pas posé de difficulté : en faisant un changement de variable polaire dans l'intégrale double, on obtient
$\frac{1}{r^2\pi}\iint_D f(x+iy)\,{\rm d}x{\rm d}y=\frac{1}{r^2\pi}\int_0^r \rho \int_0^{2\pi} f(a+\rho e^{it})\,{\rm d}t{\rm d}\rho$
Donc en supposant (i), il vient :
$\frac{1}{r^2\pi}\iint_D f(x+iy)\,{\rm d}x{\rm d}y = \frac{1}{r^2\pi}\int_0^r \rho \int_0^{2\pi} f(a+\rho e^{it})\,{\rm d}t{\rm d}\rho = \frac{1}{r^2\pi}\int_0^r 2\pi \rho f(a){\rm d}\rho = \frac{f(a)}{r^2}\left [ \rho ^2 \right ]_{\rho =0}^r = f(a)$

En revanche je ne vois pas comment passer de (ii) à (i). Est-ce que quelqu'un aurait des suggestions ?

Posté par re : Propriété de la moyenne 30-11-21 à 23:02

Bonsoir,

En dérivant par rapport à $r$ la moyenne de $f$ sur le disque de rayon $r$ ?
Qu'est-ce que la propriété (ii) entraîne pour cette dérivée ?

Posté par re : Propriété de la moyenne 30-11-21 à 23:14

GBZM @ 30-11-2021 à 23:02

Bonsoir,

En dérivant par rapport à $r$ la moyenne de $f$ sur le disque de rayon $r$ ?
Qu'est-ce que la propriété (ii) entraîne pour cette dérivée ?

Effectivement, je n'y avais pas pensé...
En partant de (ii) et en faisant le même changement de variable, on obtient $\pi r^2 f(a)=\int_0^r \rho \int_0^{2\pi} f(a+\rho e^{it})\,{\rm d}t{\rm d}\rho$ .
D'où $2\pi r f(a)=\frac{\partial }{\partial r}\pi r^2 f(a)=\frac{\partial }{\partial r}\int_0^r \rho \int_0^{2\pi} f(a+\rho e^{it})\,{\rm d}t{\rm d}\rho=r \int_0^{2\pi} f(a+r e^{it})\,{\rm d}t$ , et on obtient (i) en divisant les deux membres par 2