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Prouvez l unicité de l existence d un polynome

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 26-12-04 à 16:55

Bonjour à tous,

Voilà j'ai une question de recherche pour mon DM du samedi 8 janvier.
La voici :
Démontrer qu'il existe un polynôme du premier degré P_n(x) tel que pour tout n : (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n= P(\frac{1+\sqrt{5}}{2})

Alors j'ai déjà trouvé le polynôme :
P(x) = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}x

Mon prof m'a dit que je pouvais prouver aussi qu'il existe un seul polynôme du degré répondant à ces conditions.
Déjà je voudrais être sûr que mon polynôme est le bon...a priori je ne vois pas où pourrait se cacher une erreur.

Ensuite je veux prouver qu'il ne peut pas s'agir d'un polynôme de la forme a+bx.

J'ai fait comme suit :

Si le polynôme est de la forme a+bx .
Alors P(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=a+b*\frac{1+\sqrt{5}}{2}
On veut que P(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n
D'où :
b=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - a}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
Et a = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}}{b} b est forcément différent de 0.

Donc on a : a et b qui dépendent l'un de l'autre.D'où la résolution s'arrête ici car elle me semble impossible.

Bon après avoir fait cela je voudrais prouver que si a = 0 alors b = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}

Quand pensez vous?
Si vous avez des idées pour m'éclairer je suis partant mais surtout pas de résolution entière de l'exercice

Merci bien d'avance

A plus

Posté par
isisstruissre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:07

J'ai compris le problème d'une manière complètement différente de toi, peut-être que je suis complètement à côté. J'ai pensé que P_n(x) est un polynôme de degré n et que P(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\quad \forall n. Dans ce cas je proposerais P_n(x)=x^n

Il y a autre chose qui m'intrigue. Dans le sujet tu parles d'unicité, mais dans le texte du message tu ne parles que de l'existence...

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:10

Bonjour isisstruiss,
Ca ne peut pas être P_n(x)=x^n car le polynome P est de degré un.

Je parle d'unicité car je cherche à prouver qu'il existe un seul polynôme correspondant aux caractéristiques et j'explique ma méthode...

Voilà

Posté par
isisstruissre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:15

Ok, je vois, je comprends mainetnant le problème. Tu as trouvé un polynôme avec les caracrtéristiques demandées. Donc il y a existence. Pour l'unicité tu supposes qu'il existe un autre polynôme différent, tu cherches des conditions dessus et tu devrais tomber sur le polynôme que tu as annoncé avant. Donc ils sont égaux donc il y a unicité

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:21

isisstruiss (et les autres bien sûr), je voudrais savoir ce que tu penses de ma méthode...Si elle est bonne ou si je dois affiner.

Merci

Posté par miquelon (invité)re : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:25

Bonjour,

Je ne comprends pas bien les conditions.

Dans votre message, il y a deux notations Pn et P.
Pourriez-vous réécrire votre énoncé ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:28

Bonjour miquelon,
P_n est le polynôme P qui dépend de n.Je l'ai supprimé dans ma démonstration mais à chaque fois que vous voyez P on aurait dû mettre P_n pour être véritablement juste.

A plus

Posté par
isisstruissre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:30

Je suis d'accord jusqu'à b=\frac{(\rho)^n-a}{\rho} avec \rho le nombre d'or. Après tu écris a en fonction de b, ce qui revient au même et là tu ne peux pas du tout conclure que ce n'est pas possible! a et b sont liés par une équation, donc en fixant l'un on est aussi en train de fixer l'autre. Par contre si a=0 je suis d'accord. Il faudrait voir si a peut valoir autre chose que 0.

Posté par miquelon (invité)re : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:37

Je note le nombre (1+5)/2.

Il y a des choses qui doivent m'échapper car si il existait un unique polynôme du premier degré qui vérifie P() = n,
cela voudrait dire qu'il existerait une seule droite qui passe par le point A de coordonnées ( ; n) ...

Mais des droites qui passent par un point donné, il y en a une infinité !

Par exemple, je propose le polynôme du premier degré suivant :

  P(x) = 0,5 n-1x + 0,5n.

Ce polynôme vérifie aussi P() = n et pourtant il n'est pas identique au votre.

Qu'en pensez-vous ?  Ai-je bien compris votre énoncé ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 17:49

Effectivement miquelon tout cela me paraît bizarre j'ai peut être mal écouté mon prof de maths...Auquel cas je mérites la pendaison

Je vais potasser tout cela...

Si quelqu'un y voit plus clair que moi surtout qu'il n'hésite pas...

A plus merci

Posté par
siOkre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 19:49

Bonjour

Une idée:
Soit  \phi=\frac{1+\sqr{5}}{2}

Il existe une relation entre \phi et \phi^2, c'est la base de la question (à mon avis):
\phi^2 s'exprime en fonction de \phi

On en déduit facilement:
\phi^3 s'exprime en fonction de \phi
\phi^4 s'exprime en fonction de \phi
...

En généralisant, on aura \phi^n en fonction de \phi
Je n'ai pas traité l'exercice jusque là réponse, mais cela devrait fonctionner.


Quelques indications supplémentaires sur demande.

Bonne recherche

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 19:59

siOk je ne comprends pas trop pourquoi tu passe par ce chemin peux tu m'expliquer où tu veux en venir?

Posté par
siOkre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 20:13

Je n'ai peut-être pas compris l'énoncé ? c'est dur d'expliquer sans en montrer un peu plus.

\phi^2=\phi+1 donc on pose P2(X)=X+1

En multipliant chaque membre de \phi^2=\phi+1 par \phi, on obtient:
\phi^3=\phi(\phi+1)=\phi^2+\phi
et en réutilisant ce qui précéde:
\phi^3=2\phi+1    donc on pose P3(X)=2X+1

et ainsi de suite.


Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 26-12-04 à 20:17

Par contre pour trouver les coefficients du polynôme en fonction de n ca va se compliquer sérieusement...
Mais je vais regarder cette méthode de plus prêt...
Je crois que le polynôme qui répond à ma question n'est finalement pas unique...Faudrait que je repose la question à mon prof...
Merci

Posté par miquelon (invité)re : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 27-12-04 à 23:42

Bonjour,

Je surveillais de loin pour voir s'il y avait de nouvelles idées sur ce sujet !

SiOK a peut-être (surement même) raison car sinon, pourquoi choisir le nombre d'or si ce n'est pas pour utiliser ses propriétés ?

Dans ce cas, une possibilité pour l'énoncé serait :

Posons = (1+5)/2.
Pour chaque entier naturel n, on considère le polynôme Pn du premier degré vérifiant Pn() = n.
Question : trouver l'expression de Pn(x) (en fonction de n et de x).

Il y a donc une infinité de polynômes (une famille de polynômes) : P1, P2, etc...

Donc en utilisant la propriété que cite siOk, on obtient :

P1(x) =  x
P2(x) =  x + 1
P3(x) = 2x + 1
P4(x) = 3x + 2
P5(x) = 5x + 3
P6(x) = 8x + 5
...

1) Pouvez-vous prévoir les polynômes suivants ?

2) Connaissez-vous les suites de Fibonacci ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Prouvez l unicité de l existence d un polynome 27-12-04 à 23:44

Oui cela je l'avais remarquer, je vais continuer a travailler sur mon DM.
Merci bien miquelon

A plus


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