bonjour ty59847,

malgré la difficulté annoncée (aïe!), j'aimerais bien essayer... mais je ne comprends pas l'énoncé.

"l'épaisseur des pièces est négligeable"
"quel est le volume"
j'en déduis que la construction est en 3D;  mais avec 4 pièces je ne vois pas du tout.
"en étendant les pièces" : 3 pièces en triangle, posées au sol, ou sur tranche,  et la 4ème posée dessus, au centre ?  

aurais-tu un dessin ? ou bien la difficulté consiste justement à comprendre cette disposition ?

question 2) pour le cas où le mot "volume" serait plutôt "aire" - un instant d'étourderie ?

 Cliquez pour afficher

aire_enveloppe_convexe = 6++3

salut

d'après ce que je comprends :

1/ les pièce sont inscrites dans des triangles équilatéraux qui forment une pyramide ... régulière ...

mais je ne comprends pas la question 2/ ... : comment former une pyramide avec trois pièces ?

bonjour et merci carpediem, je vois mieux pour la 1)

 Cliquez pour afficher

1) volume d'un tétraèdre régulier d'arête 23
V = 26

Pour la question 1, il faut effectivement voir une pyramide composée de 4 triangles équilatéraux.
Un des triangles est la base de la pyramide, et les 3 autres 's'appuient' sur les 3 côté de la base.
Un peu comme sur les dessins sur cette page :

Ensuite, c'est là que ça se corse, on remplace chaque triangle par le cercle inscrit dans ce triangle.
Et  on s'intéresse à l'enveloppe convexe de  ces 4 disques (on est effectivement en 3D)

Et il y a bien une faute de frappe dans l'énoncé, je voulais parler de 4 pièces disposées en pyramide.

Pour avoir tous les même notations, on peut dire que la base de la pyramide, c'est le cercle  ( z=0 ; x^2+y^2 = 1 )
Et que l'un des points où ce cercle de base est tangent à une des pièces, c'est le point (x=-1, y=0, z=0)
Du coup, la position de toute la construction est connue.

La forme F obtenue, on peut essayer de la visualiser comme via un scanner, en coupant avec des plans horizontaux.
Le plan z=0 coupe cette forme, et donne un cercle.
Le plan z= 0.1 coupe cette forme, et donne un truc comme un hexagone, mais avec les angles arrondis.

Quand z augmente, il y a un moment où la forme obtenue est un triangle  équilatéral.
Puis on peut chercher la valeur maximale de z.
Quelle est la valeur maximale de z ? Quelle est la nature de notre solide pour cette valeur de z, quelle est l'équation de cette portion de plan ?

Je n'ai pas les solutions ... c'est un travail collaboratif. Mais cette partie là, je pense l'avoir.

Je pense que nos spécialistes géogébra pourront nous faire une belle animation pour dessiner les différentes sections horizontales.

Bonjour ty59847,

Je suis loin d'être une spécialiste en géogebra genre très très loin mais le défi m'a intéressée alors j'ai fait ce que j'ai pu .
Le point M sert à bouger plan horizontal et le point G sert à augmenter ou diminuer le rapprochement des pièces (pour être honnête j'ai eu la flemme de faire le calcul donc je l'ai laissé mobile).
Disons que pour un premier essai en 3D, le résultat aurait pu être pire et je partage même si je n'ai pas trouvé le moyen de faire apparaitre le premier cercle lorsque z=0 (le logiciel refuse obstinément de m'écouter à ce sujet, je crois que l'épaisseur nulle l'embrouille)

Bonsoir,
il est clair que l'on a à faire à des portions de surfaces réglés.

L'intersection du plan z=a et de l'enveloppe convexe des quatre disques est un hexagone, sans arrondi, au dessus de la valeur de z où les trois cercles « inclinés » sont tangents.

À partir de la on peut se lancer dans un calcul d'intégrale.
Le morceau manquant étant un tétraèdre régulier.

Je me lancerais dans les calculs un autre jour.

Le dessin géogébra est une bonne base.
Par contre quand z est très petit, la forme obtenue devrait être très proche d'un disque de rayon 1. et pas un triangle équilatérale.

Surface réglée ... J'avais oublié cette expression, mais c'est ça.

La piste proposée par Verdurin semble la bonne
Sur ce vague dessin, on a dans un premier temps la pyramide de la première question avec ses 4 sommets... et ce que je vais appeler les 4 pointes.
Sur chacune des arêtes, on prend le point au milieu (c'est le point où la pièce touche le bord du triangle, et c'est le point où 2 pièces sont tangentes, et on dessine la forme obtenue à partir de ces points : Un solide avec 6 sommets, 12 arêtes et 8 faces triangulaires
Le volume de ce solide est très facile à calculer, c'est la moitié de la pyramide initiale.
Le volume dont on parle (l'enveloppe convexe ...), c'est ce solide plus 4 'calottes' identiques. La calotte sur le haut du dessin est plus facile à calculer, l'axe 0z permet un calcul 'simple'. Les 3 autres calottes seraient plus difficiles à mesurer, mais par symétrie, on sait que les 4 calottes ont le même volume.

Bonjour,
Je réponds trivialement au volume de la pyramide formée:
Le rayon de la pièce étant de 1 , le triangle circonscrit sera de coté  3.
Nous avons un tétraèdre régulier de coté 3  dont le volume est
+3³/623.182

Non, le triangle est plus grand que ça.
C'est la hauteur du triangle qui est de 3, et non son côté.

Bien sûr , je m'en suis aperçu en tentant le volume enveloppe

soit c = 3/3/2
V=33 5.196..

Reste en enlever les 4 "coins tétraèdres à base sphérique"
J'estime leur volume à 1³ /62+1.1*0.15*0.80.25
soit 1 à déduire du tétraèdre régulier 4.2

Je me suis lancé dans les calculs et je trouve, sans garantie.

Pour le coté du tétraèdre
pour son volume .
Je suis assez confiant dans ces résultats.

Pour le volume de l'enveloppe convexe des quatre pièces :



Là j'ai eu beaucoup d'occasions de me tromper.

On tronque les sommets du tétraèdre au tiers des arêtes et les faces de départ deviennent des hexagones réguliers circonscrits aux pièces.

Ensuite on enlève les sommets suivant un cylindre.
J'ai calculé le volume d'un de ces morceaux en remarquant que son intersection avec un plan parallèle à la face opposée est un triangle équilatéral.

Ok pour la question 1
Coté du tétrèdre 2\sqrt{3}
Volume du tetraèdre 2\sqrt{6}

Je partage mes résultats,  ... je note v(x) pour


Les  3 points où le cercle de la base est tangent à un bord :

A(-1,0,0)
B(0.5,v(3)/2,0)
C(0.5,-v(3)/2,0)

Le triangle de base :
C'(-1,v(3),0)
B'(-1,-v(3),0)
A'(0,2,0)
La pyramide de la question 1 a pour côté v(12)
Son volume est ?
La base a pour surface v(12)*v(12)*v(3)/4 = 3 v(3)

Où est le sommet de la pyramide : on cherche (0,0,z)   et la distance entre ce point et (0,2,0) doit être de v(12)
donc 2²+z²=12
z = v(8)
Sommet de la pyramide
S(0,0,v(8))
Volume de la pyramide :
V=v(24)


Où sont les autres points remarquables (les points où les cercles sont tangents entre eux) ? Ils sont aux milieux des côtés de la pyramide

A"(-0.5,0,v(2))
B"(0.25,v(3)/4,v(2))
C"(0.25,-v(3)/4,v(2))
Ces 3 points forment un triangle équilatéral, de côté v(3)/2

Les points les plus hauts de nos pièces. Quand un triangle est vertical, le sommet du cercle est aux 2/3 de la hauteur, ça reste vrai quand le triangle est penché.

A"'(-1/3,0, v(32)/3)
B"'(1/6, 1/2v(3), v(32)/3)
C"'(-1/6,1/2v(3), v(32)/3)
Ces 3 points forment un triangle équilatéral, de côté 1/3


Du coup, j'ai des doutes sur ton résultat final.
La calotte en haut a une hauteur v(32)/3-v(2)=0.4714
Sa section est variable, entre un triangle équilatéral de côté v(3)/2 pour la section en bas, et un triangle équilatéral de coté 1/3 pour la section du haut... donc comptons en gros un triangle équlatéral de côté 0.7 ( je choisis un nombre nettement supérieur à la moyenne entre les 2 extrêmes)
C'est à dire une surface de 0.21 environ
Donc en gros un volume de 0.21*0.47 =0.10 pour chacune des 4 calottes.
On arrive donc à un volume d'environ v(6) + 4*0.1=2.85

Le calcul de l'intégrale semble 'faisable'... je vais m'y coller moi aussi, plus tard.

j'essaye de m'y retrouver

*r=rayon de la pièce : 1
*c =coté du triangle équilatéral circonscrit  23
*V=volume du tétraèdre régulier circonscrit  c³/62
je corrige donc V=26   (d'accord avec verdurin)4.9
Pour les "coins"  j'attends une formule exacte.
On voit l'addition du volume du petit tétraèdre de coté 23/3 et de  la forme sphérique estimée  plus haut  que je corrige à 0.15 soit 0.331 et donc  1.324 pour les 4.

J'estime donc l'enveloppe à  4.9-1. 324=3.576

On voit que la partie complémentaire du tétraèdre d'arête 23/3 , a un volume assez réduit  voir les segments
circulaires rouge ,jaune et bleu exclus ...

Je donne une image de mon idée.
a) tronçonner les 4 "coins"
b) meuler les  12 petits "tétraèdres sphériques" résiduels.
a = V/9  X 4 1.633
b? estimation 0.2

Le volume enveloppe devrait approcher  3.1
Vivement qu'un intégreur trouve .

Salut,
j'ai refais mes calculs est j'ai trouvé des erreurs.

Pour commencer en prenant l'idée de dpi, qui est celle que j'ai utilisée.

Le volume du tétraèdre tronqué est 23/27 fois celui du tétraèdre de départ.
À chaque sommet on coupe un petit tétraèdre dont le coté est 1/3 de celui de départ et dont le volume est donc 1/27 de celui de départ.
Il est donc égal à

Il reste à raboter les arêtes en suivant les cercles.
Une vue de dessus où seul le sommet D a été traité :

En bleu il y a une section de la calotte en vraie grandeur.
On voit que c'est un triangle équilatéral tronqué aux sommets.

J'ai calculé (en faisant faire les calculs par Xcas ) l'aire d'un des triangles ôtés en fonction de la cote z.
Puis j'ai fait intégrer cette expression entre et .
Le résultat est petit, de l'ordre de 0,005, mais ce n'est pas vraiment étonnant : l'aire de la section ne diminue notablement que pour les valeurs de z voisines du maximum.

Finalement je trouve un volume total pour l'enveloppe convexe égal à :



Et j'espère que, cette fois, je n'ai pas fait d'erreurs.
Il me semble toutefois prudent de vérifier mon résultat.

Pour ma part j'ai oublié un facteur (3) dans ma comparaison  v/V
qui est bien de 1/27 donc d'accord pour  23V/27.
Je te fais confiance pour l'intégration soit 12x 0.005 soit 0.06
J'arrive donc à  4.1732-0.06=4.113
J'en déduis donc que l'intégration aboutit à 0.0531647

On attend ty59847

Salut dpi,
je ne comprend pas vraiment ce que tu veux dire.

Je mets mon raisonnement.

On part d'une coupe du tétraèdre suivant le plan passant par A et D et perpendiculaire à (BC)

Le point H_D est la projection orthogonale de D sur le plan (ABC). C'est aussi le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Le point A' est le milieu du segment [BC].
On prend un point M de cote z sur [DH_D].
Il coupe la hauteur [DA'] du triangle BCD en M'.

En posant y=A'M' on a

On regarde ensuite ce qui se passe sur la face BCD.

La droite rouge est l'intersection du plan de cette face et du plan de cote z. On a comme avant y=A'M'.

Le côté du triangle équilatéral à enlever est

Il est clair que .

De plus

On a donc

Il reste à intégrer vu comme fonction de z quand y varie de 3/2 à 2.

J'ai confié ça à un esclave numérique.

>verdurin

Je n'ai que confirmé ton approche,simplement comme tu donnes
le vrai résultat (faute de preuve du contraire) , j'ai essayé de reconstituer le volume de chaque petit  pics à rogner.
Ils sont 12 pour un total de 0.06379768 soit 0.00531647
ce que tu a arrondi  à 0.005 dans ta démonstration.