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Pythagore et puissances de 2

Posté par
Imod 19-09-26 à 10:28

Bonjour à tous

Une petite détente à la portée d'un élève de collège , les maîtres devront blanker leurs messages pour laisser une chance aux autres

Pour tout entier naturel , montrer qu'il y a au moins n triangles rectangles à côtés entiers dont l'un d'eux est  2^{n+1}  .

Facile et amusant .

Imod  

Posté par
GBZMre : Pythagore et puissances de 2 20-09-26 à 15:30

Bonjour,
Ça n'attire pas la foule. a^2=h^2-b^2=(h-b)(h+b)

Posté par
Imodre : Pythagore et puissances de 2 22-09-26 à 10:50

J'écris autrement l'indice de GBZM : 2^{2(n+1)}=(h-b)(h+b) . Bien sûr h-b et h+b sont des entiers .

Imod

Posté par
dernyre : Pythagore et puissances de 2 22-09-26 à 13:46

Bonjour
c'est sûrement" trop simple" pour moi. Je pense qu'il s'agit des triangles pythagoriques. Comment une puissance de 2 peut-elle être un des côtés ? Pourrait-on avoir un exemple concret ?

Posté par
dernyre : Pythagore et puissances de 2 22-09-26 à 13:59

Hormis 3  4  5

Posté par
Imodre : Pythagore et puissances de 2 22-09-26 à 17:05

@Derny : essaie de résoudre dans \mathbb{N} : 64=(h-b)(h+b)
Imod

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Pythagore et puissances de 2 22-09-26 à 21:44

Bonjour,
Merci pour les indications.
Je suis en déplacement, ne disposant que d'un petit carnet pour écrire mes idées.
Pour n nul il y a 0 triangle.
Pour n non nul, je me suis contentée de trouver un triangle :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Pythagore et puissances de 2 23-09-26 à 07:26

La nuit porte conseil :

 Cliquez pour afficher

Posté par
jandri Correcteurre : Pythagore et puissances de 2 23-09-26 à 09:31

Bonjour Sylvieg,

avec l'indice donné au début on peut résoudre la question de tête sans rien écrire.

Par ailleurs Imod aurait pu demander :
montrer qu'il y a exactement n triangles rectangles à côtés entiers dont l'un d'eux est 2^{n+1}

ou encore :
montrer qu'il y a un seul triangle rectangle à côtés entiers premiers entre eux dont l'un d'eux est 2^{n+1}

Posté par
dernyre : Pythagore et puissances de 2 23-09-26 à 10:07

Bonjour
Je sors de mon hibernation.
Un des côtés de tous ces triangles est 2^u + 2^v  avec u+v=2n

Posté par
Imodre : Pythagore et puissances de 2 23-09-26 à 11:59

Bravo à tous

Il fallait voir la factorisation donné par GBZM . On remarque au passage que l'on peut remplacer 2 par n'importe quel autre entier premier mais là , il est possible qu'il y ait plus de n solutions .

Imod

Posté par
jandri Correcteurre : Pythagore et puissances de 2 24-09-26 à 22:28

On peut préciser le "il est possible qu'il y ait plus de n solutions".

Pour un nombre premier impair p la factorisation p^{2(n+1)}=(h-b)(h+b) donne exactement n+1 triangles.

L'équation p^{2(n+1)}=x^2+y^2 (avec x<y) n'a pas de solution si p\equiv3\pmod4 et en possède n+1 si p\equiv1\pmod4.

Il y a donc exactement n+1 triangles si p\equiv3\pmod4 et 2(n+1) triangles si p\equiv1\pmod4.


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