Bonjour à tous

Smme des angles d'un quadrilatère et plus généralement somme des angles d'un polygone de n côtés

Coucou

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On sait que la somme des angles est égale à 360°, c'est déjà ça

Bonjour Louisa

Bien, maintenant généraliser avec "n"

Je ne comprends pas "quadrilatère convexe circonscrit

Bonjour.

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C'est tout à fait le contraire !
Un quadrilatère circonscrit à un cercle à ses quatre côtés tangents à ce cercles.
Soient le quadrilatère ABCD circonscrit à un cercle.
AB = a; BC = b; CD =  c; DA = a.
Les points de tangentes de [AB], [BC], [CD] et [DA] sont respectivement E, F, G et H.
Propriété : si d'un point hors d'un cercle, on mène les deux tangents à ce cercle, le point est équidistant des points de tangentes.
AE = AH; BE = BF; CG = CF; DG = DH
en additionnant les membres de gauche et les membres de droite :
AE+BE+CG+DG = AH+BF+CF+DH
(AE+BE)+(CG+DG) = (BF+CF)+(AH+DH)
AB+CD + BC+AD
A retenir : la somme de deux côtés opposés d'un quadrilatère convexe circonscrit à un cercle est égale à la somme des deux autres côtés opposés.
a+c = b+d
d = a+c-b

Bonjour Obrecht.

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Dans le deuxième cas (les points de tangente) dans le prolongement des côtés, il s'agit d'un quadrilatère concave. Dans ce cas, la différence entre deux côtés opposés égale la différence des deux autres côtés opposés.

Bonjour,

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Somme des angles d'un polygone à n côtés:
je peux le partager en n triangles
somme des angles des n triangles: 180n en degrés (ou n en radians)
puis on enlève l'angle au centre (360°)
Somme des angles du polygone à n côtés = 180n - 360 ou 180(n-2) en degrés (ou (n-2) en radians)

pour le quadrilatère convexe circonscrit:
si d est le 4ème côté:

  

  

  ensuite ... il faut travailler avec les tangentes de chaque demi-angle

Bonjour à tous,

Bonjour plumetmeteore,

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Bien sûr les départs sont comme moi mais aprés pour moi c'est la galère.Je n'ai rien retouché à cet énoncé, qui déjà à l'époque m'avait surpris avec sa contradiction: convexe! ou croisé.  La question sur les angles n'était pas pour vous autres mais pour Louisa, qu'elle puisse participer un peu. Retenons: les petis ont le droit de venir jouer dans la cour des grands mais la réciproque est interdite.        

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[blank]Bien sûr les départs sont comme moi mais aprés pour moi c'est la galère.Je n'ai rien retouché à cet énoncé, qui déjà à l'époque m'avait surpris avec sa contradiction: convexe! ou croisé.  La question sur les angles n'était pas pour vous autres mais pour Louisa, qu'elle puisse participer un peu. Retenons: les petis ont le droit de venir jouer dans la cour des grands mais la réciproque est interdite.        

Bonjour LOUISA,

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Un quadrilatère convexe est un quadrillarère dont les côtés se suivent, inégaux on autres;
Un quadrilatère qui a ses deux côtés opposés qui se coupent est appelé quadrilatère croisé

Re-Louisa,

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Pour déterminer la somme des angles d'un polygone. Sur une feuille de papier construire, à main levée mais proprement quand même, plusieurs polygones, 5 ; 6 ; 7 ; 8 côtés. Les sbdiviser en triangles, faire un comptage et comparer avec le nombre de côtés. Conclure  

Bonjour obrecht

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Donc un quadrilatère croisé est un quadrilatère concave ?

Louisa

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Concave pourrait signifier " contraire" , mais ici ,c'est inapproprié

Obrecht

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Autant de triangles que de nombres de côtés

Louisa,

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Les triangles ne doivent pas se couper. Pars d'un seul sommet par exemple.

obrecht

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donc je n'en aurai que 4 de triangles

Pour Louisa,

Les autres doivent un peu patienter.



Voici pour te famliariser avec les vocables des polygones: triangle ( on aurait pu dire trigone ou trilatère) ; quadrilatère ( tétragone, pourquoi pas) ou (quadrigone! , mais les puristes n'aiment pas que l'on forge des mots à partir d'étymons grecs et latins à la fois) ;
Maintenant je te laisse chercher le nombre de côtés: pentagone ; hexagone ; heptagone ; octogone ; ennéagone ; décagone ; hendécagone ; dodécagone.La géométrie  est un jeu trés distrayant mais également enrichissant.

Louisa,

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Pour l'hexagone oui 4 triangles

obrecht

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j'aurai pu tout aussi bien tracer 6 triangles tu sais ?

Louisa,

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Non, il ne faut pas que les triangles se coupent

obrecht  

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là ils ne se coupent pas

Louisa,

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deux côtés de chaque triangle doivent être diagonales,le troisième étant un côté dudit polygone

ouais ! suis pas très convaincue ou c'est la fatigue qui fait que ça ne tilte pas dans ma tête

Louisa,

Prends un peu de repos et tu réfléchiras aprés. Moi je vais faire un "break" pour déjeûner

Bon appétit

obrecht

je dois réfléchir à quoi ? Je sais même plus !

Obrecht

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ton quadrilatère n'est pas assez défini

je prends un exemple avec a=4 b=7 c=8

on trouve d=a+c-b d=5

soit OE la perpendiculaire de O sur AB (j'ai gardé les mêmes lettres que plumemeteore)

je pose x=2,8 et je trouve R=7,56 = 2,749545417

la formule est:

on peut calculer les angles:
88,9582 + 66,4218 + 71,7764 + 132,8436 = 360°

mais c'est loin d'être la seule configuration possible

à la limite on peut avoir un triangle, les points B, A et D étant alignés
les côtés sont: a=9 b=7 c=8
les angles sont (si je considère que l'angle plat BAD fait 180°):
   73,3984 + 48,1897 + 58,4119 + 180 = 360°

Re,

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si a,b,c et R sont donnés on peut calculer x (distance BE)




R doit être donné de façon que la partie sous le radical soit positive

avec x on calcule facilement les angles

avec a=4  b=7  c=8  il faut que R soit 2,788866755

pour R = 7,56 = 2,749545417 je retrouve x=2,8 comme dans mon exemple précédent

Bonsoir Daniel,

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Je n'ai pas touché à l'énoncé, je n'ai jamais eu ce genre aux exams heureusement. J'avais essayé, puis sans aucun résultat concret j'ai laissé tomber.Maintenant que tu me montres tout ça dés demain je vais.... aujourd'hui je suis un peu nase.D'où sors-tu cette formule:  
la formule est
            

Obrecht

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La recherche que tu m'as demandé :

Pentagone = 5 côtés
Heptagone = 7 côtés
Octogone = 8 côtés
Ennéagone = 9 côtés
Décagone = 10 côtés
Hendécagone = 11 côtés
Dodécagone = 12 côtés

Louisa,

Bien joué, mais tu peux montrer ta réponse aux autres

Bin voilà

La recherche que tu m'as demandé :

Pentagone = 5 côtés
Heptagone = 7 côtés
Octogone = 8 côtés
Ennéagone = 9 côtés
Décagone = 10 côtés
Hendécagone = 11 côtés
Dodécagone = 12 côtés

Louisa,

Formidable, pour être franc tu es plus en avance que moi car le mot hendécagone je ne l'ai appris que tardivement

Merci obrecht

pour les formules j'ai utilisé:

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  et la formule:

  

  Somme des demi-angles = et tan() = 0

Bonsoir Daniel

Daniel,

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Mais oui bien sûr , faut dire que ce soir je suis fatigué, je suis debout depuis 5h du mat, ma vie devient un peu déréglé je ne respecte aucun horaire. Je vais couper pour ce soir. Demain ce n'est pas sûr, mais dimanche

la suite:

13 côtés ==> tridécagone
14 côtés ==> tétradécagone
15 côtés ==> pentadécagone
16 côtés ==> hexadécagone
17 côtés ==> heptadécagone
18 côtés ==> octadécagone
19 côtés ==> ennéadécagone
20 côtés ==> icosadécagone

Bonsoir Louisa

discussion sur la forme du quadrilatère:

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lorsque x=a l'angle A vaut 180° le quadrilatère devient un triangle

et pour x<a le quadrilatère est concave

Une question Daniel

Tu l'as trouvé où "icosadécagone"

icosagone je veux bien mais ?

Bonjour.

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Si on prolonge les côtés d'un quadrilatère de façon à ce que les paires de deux côtés consécutifs se rencontrent, on a un quadrilatère complet.
La figure comporte six points d'intersection, dont trois paires ne sont pas (encore) reliées par des segments.
Si on trace les segments entre ces trois paires, ces segments sont les diagonales du quadrilatère.
Les milieux de ces trois diagonales sont alignés.
Le côté de l'heptagone régulier est à peu près la moitié du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.
Le côté de l'ennéagone régulier est exactement la différence entre sa diagonale 4 et sa diagonale 2.
La diagonale du pentagone régulier divisée par son côté donne le nombre d'or.
Le côté du décagone et sa diagonale ont pour moyenne géométrique et pour différence le rayon du cercle inscrit.
Dans un pentagone et un décagone inscrit dans un même cercle, les longueurs du côté du pentagone, du rayon et du côté du décagone sont des longueurs des côtés d'un triangle rectangle; il en est de même pour les longueurs de la diagonale du pentagone, du rayon et de la diagonale du décagone.

je me suis trompé:

20 côtés ==> icosagone

Ok

j'ai la suite :

et une autre suite :

• 30 côtés : Triacontagone
• 40 côtés : Tétracontagone
• 50 côtés : Pentacontagone
• 60 côtés : Hexacontagone
• 70 côtés : Heptacontagone  
• 80 côtés : Octacontagone
• 90 côtés : Ennéacontagone
• 100 côtés : Hectogone
• 200 côtés : Dihectogone
• 300 côtés : Trihectogone
• 400 côtés : Tétrahectogone
• 500 côtés : Pentahectogone
• 600 côtés : Hexahectogone
• 700 côtés : Heptahectogone
• 800 côtés : Octahectogone
• 900 côtés : Ennéahectogone
• 1 000 côtés : Chiliogone
• 10 000 côtés : Myriagone

mais je voudrais bien les voir les triangles là dedans

Bonjour Obrecht.

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Nous nous éloignons fort de la résolution de l'exercice.
Si le rayon est 1, la tangente de la moitié de l'angle formé par les tangentes partant d'un même point égale la distance de ce point aux points de tangente.
Dans le cas du quadrilatère convexe :
si x est la partie du côté a qui est de son point de tangente à une de ses extrémités :
les distances des quatre sommets à leurs points de tangentes respectifs sont : x, a-x, b-x, c-b+x
il faudrait donc trouver x tels que les angles ayant respectivement pour tangente x, a-x, b-x, c-b+x aient pour somme 180°
il y a peut-être une solution non trigonométrique.

le R correspondant pour x=a

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pour a=4 b=7 et c=8 je trouve R = 5

pour R = 5 le quadrilatère est un triangle

pour R < 5 le quadrilatère est concave

explications:

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on utilise ensuite plusieurs fois la formule tan(a+b)=...

méthode de calcul:

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on utilse la formule:

  

pour tan(E1 + E2 + E3 + E4)

on calcule d'abord tan(E1 + E2) et tan(E3 + E4)

puis tan[ (E1+E2) + (E3+E4) ]

les tan() et arctan() s'éliminent parce que tan(arctan(x)) = x

pour que l'expression soit nulle, il suffit que le dénominateur soit nul

on trouve alors une relation entre R et x

pour que l'expression soit nulle, il suffit que le numérateur soit nul

c'est la fatigue !