Niveau Préparation CRPE

Quadrilatères inscriptibles

Posté par
bouchaib 31-03-26 à 03:20

Bonjour,

Soit $\overset {\frown}{AB}$        et     $\overset{\frown}{CD}$ ,
  deux arcs  disjoints et de même  mesure d'un même cercle (L) de centre O tels que :

Les deux demi-droites [AB) et [CD) se coupent en E.

Prouver que le quadrilatère  AODE est inscriptible.

Réponse : j'ai construit un cas de figure parmi d'autres ( fig. Ci-jointe)

Pour le reste je n'ai pas pu répondre .
Mais je devais montrer que deux angles opposés de sommets  différents sur ce quadrilatère,  AODE, sont supplémentaires ( la somme de leurs mesures géométriques est 180°).

Merci de me débloquer.

Quadrilatères inscriptibles

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 08:36

Bonjour,

Un début de piste : les triangles isocèles ABO et ODC ont même angle au sommet, donc mêmes angles à la base (BAO=CDO).

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 09:37

Bonjour,

Juste en passant ...

Il vaut toujours mieux dessiner correctement, sinon des évidences risquent de ne pas être vues.

Par exemple, une façon de résoudre (parmi d'autres) utilise les médiatrices de [AB] et de [CD] . . .

Si le dessin est bien fait, ces médiatrices passent toutes deux par le point O, c'est loin d'être le cas sur ton dessin . . . et donc tu risques fort de passer à coté de choses utiles au raisonnement.

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 11:25

candide2 @ 31-03-2026 à 09:37

Si le dessin est bien fait, ces médiatrices passent toutes deux par le point O, c'est loin d'être le cas sur ton dessin . . . et donc tu risques fort de passer à coté de choses utiles au raisonnement.

Bonjour,
Qu'est ce qui prouve que le dessin est mal fait ? Il ne faut pas oublier la perspective de la photo : 21 carreau de large en bas, 32 en haut.

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 11:57

On peut remarquer que le triangle ODC est obtenu par rotation de centre O à partir du triangle OAB. Ceci montre immédiatement l'égalité des angles de droites orientés ((OA),(OD)) et ((AB),(CD)).
L'énoncé est bizarre : imposer que les arcs soient disjoints et parler de demi-droites qui se coupent sert en fait à imposer que la rotation mentionnée ci-dessus envoie bien A sur D. Mezalor les arcs (orientés) AB et CD n'ont pas même mesure, ils ont des mesures opposées.

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 14:24

Merci.

Donc :
J'utilise le fait que l'angle (ABO), de sommet B,est isométrique à l'angle ( ODC), de sommet D.
Comme les points, E, D et C sont alignés, forment donc un angle plat de sommet D.
D'où : = La mesure géométrique de l'angle (EDO)+la mesure géométrique de l'angle (ODC).

L'angle (ODC) est égale à l'angle (BAO) par construction (hypothèse = données).

Et donc le quadrilatère AODE est inscriptible.

Merci encore.

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 14:32

Il convient ici de travailler avec des angles orientés de droites. Le quadrilatère OADE est inscriptible si et seulement si ((OA),(OD))=((EA),(ED)) (angles orientés de droites). Or (EA)=(AB) et (ED)=(CD).

Posté par re : Quadrilatères inscriptibles 31-03-26 à 14:35

Merci beaucoup.