Salut KissCool

On considère le repère orthonormé (A,i,j) où i est un vecteur unitaire de direction l'alignement de la gare

Dans ce repère on a :
A(0;0) et B(4000;3000)

On note f la fonction associé à la courbe recherchée
On a :
f(0)=0
f(4000)=3000
f'(0)=0  (car la courbe est tangente en A à 1'alignement droit)

reste a trouver f'(4000) ie le coefficient directeur de la tangente en B à 1'arc de cercle

On détermine l'équation du cercle :
centre U(3000;5000)
rayon R tel que :
R^2 = 1000^2 + 2000^2  (Pythagore)
R^2 = 5.10^6

D'où :
(x-3000)^2 + (y-5000)^2 = 5.10^6

Ie (y-5000)^2 = 5.10^6 - (x-3000)^2  (E)

On note y=g(x) la fonction associé a l'arc de cercle
Puisque g(x)<5000 on a d'après (E):
g(x) = 5000 - (5.10^6 - (x-3000)^2
)

g'(x) = (x-3000)/(5.10^6 - (x-3000)^2
)

Donc f'(4000) = g'(4000) = 1/2


On obtient donc 4 conditions sur f :
f(0)=0
f(4000)=3000
f'(0)=0
f'(4000) = 1/2

On cherche alors f sous la forme d'un polynome de degré 3:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d  (de sorte qu'on obtient un système de 4 équations à 4 inconnues)

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

D'ou
d=0
c=0
a(4000)^3 + b(4000)^2 = 3000
3a(4000)^2 + 2b(4000) = 1/2

a = -1/4000^2
b = 7/16000

Voilà ... en espérant que les calculs ne sont pas érronés ...

Bonjour,

Sympa le problème.

La forme de la fonction à trouver n'est pas donnée mais en traçant le dessin à l'échelle, on s'aperçoit que la tangente en B (en la prolongeant) passe au dessus du point A, exactement en (x=0;y=1000), ce qui implique que la courbe à trouver aura un point d'inflexion entre x=0 et x=4000. La forme la plus simple pouvant présenter cette singularité est effectivement un polynôme du 3ème degré.

On peut rechercher la position de ce point d'inflexion I en posant f"(x)=0 et on trouve, sauf erreur, x=7000/3 et y=343000/216 soit environ I ( 2333 ; 1588 ).
A vérifier...

Sinon, je trouve la même chose que Matouille2b.

A bientôt, KiKo21.

Re-bonjour,

Vraiment sympa ce problème alors j'en rajoute une petite couche...

Quelle devrait être la position du point B sur son arc de cercle pour supprimer le point d'inflecion et obtenir la courbure la plus fluide possible (Je cherche les critères mathématiques de "courbure la plus fluide"...)

Si quelqu'un a une idée ??

A+, KiKo21.

bonjour et encore merci à tous et dsl
Mais que signifie a et b apres avoir resolu le système?
Il fait determiner l'eqUation de la courbe d'après ce que j'ai compris donc la courbe est de la forme ax^3+bx^2+cx+d avec d=0 , c = 0 et les valeurs de a et b on les a trouvé c'est bien cela?
Merci encore et bravo

Re-bonjour,

Effectivement, Matouille2b les a trouvés et il suffit de remplacer a et b dans l'expression de la fonction.

A+, KiKo21.

ok merci beaucoup mais vraiment beaucoup.
Jamais je saurais faire cet exercice toute seule.Meri bcp bcp bcp
Mais je prefer quand même poser une petite question : c'est quoi "point anguleux"? c'est marqué dans l'ennoncé
merci bcp

excusez moi que ve dire "ie"ecrit par Matouille2b? merci

Bonjour,

C'est quand tu as un point sur une courbe qui présente deux 1/2 tangentes, c'est à dire un coefficient directeur différent à gauche et à droite du point.

A+, KiKo21.

"ie" = faute de frappe ??