Bonjour,
Je m'intéresse au calcul pratique des racines d'un polynôme;
soit P3(z) un polynôme de degré 3 à coefficients complexes possédant
2 racines réelles non nulles et une racine complexe zc=a+bi ,ab0 ,
calculer cette racine.
Exemple:
***********
Calculer zc
QUESTION
*************
Donner une formule permettant le calcul de cette racine complexe (a+bi,ab0 )
à partir des coefficients pour tout polynôme Pn(z) possédant n-1 racines
réelles non nulles.
Alain
Salut,
Effectivement.
Ce type de problème me semble rarement abordé sur ce site,
la généralisation est peut être intéressante,
Alain
la relation coeff racines appliquée à la somme des racines donne facilement la partie imaginaire de la racine
A partir de l'exemple :
On annulle tous les termes réels de l'équation, on obtient : i(14z² - 45z - 14)
On fait la divison Euclidienne de [28z³ + (14i - 118)z² + (62 - 45i).z + 28 - 14i] par (14z² - 45z - 14), ce qui est quasi immédiat et on trouve comme quotient : 2z + (-2 + i)
En annulant ce quotient, il vient :
---> Zc = (2-i)/2 = 1 - i/2
-----
Cette technique devrait être valable pour tout polynôme Pn(z) possédant n-1 racines réelles non nulles.
Bonsoir,
j ai trouvé cela: z = (-c/a) * ( (f/g) + i )
pour un polynome du type az^3 + (b+ci)z^2 + (d+ei)z + f+ig =0
mais bon cela ne marche que pour le degre 3 !
A partir de l'exemple : 28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i = 0
Soit xk les racines réelles de l'équation, les xk sont donc solutions de :
28.x³ + (14i - 118).x² + (62-45i).x + 28 - 14i = 0
28.x³ - 118.x² + 62.x + 28 + i(14.x² -45.x - 14) = 0
et donc :
28.x³ - 118.x² + 62.x + 28 = 0
ET
14.x² -45.x - 14 = 0
Toutes les racines réelles (ici x1 et x2) de l'équation de départ sont les valeurs pour lesquelles 14.x² - 45.x - 14 = 0.
on a : 14.x² -45.x - 14 = 14(x - x1).(x - x2)
----
28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i = 0 peut donc s'écrire : 28(z - x1).(z - x2).(z - zc)
soit aussi 2(14.z² -45.z - 14).(z - zc)
Et donc [28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i] est divisible par (14.z² -45.z - 14)
La division euclidienne de [28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i] par (14.z² - 45.z - 14) permet de trouver zc
Bonjour,
Merci pour t réponse détaillée,celle-ci permet de trouver les racines
réelles puis par division euclidienne zc ,
Je pense à une autre piste suggérée par pyth utilisant les parties imaginaires,
Alain
La "formule" est déduite immédiatement en observant ce qui se passe dans la division euclidienne que j'ai évoquée.
Le termes en Z^n et en Z^0 se déduisent immédiatement en observant la division éuclidienne ... qu'on peut donc ne pas effectuer.
Equation : A.z^n + (B + C.i).z^(n-1) + ... + (M + N.i) = 0
(A/C).Zc + (M + N.i)/N = 0
(A/C).Zc + (M/N) + i = 0
Zc = -(C/A).((M/N) + i)
Sauf distraction.
Bonjour,
Solution voisine.
Somme et produit des racines:
Une seule racine n'étant pas réelle
,
Tous calculs faits:
Alain
Nous avons l'équation :
Si avec est une racine de cette équation donc ce polynôme peut s'écrire ainsi :
; avec et réelles car les autres racines sont réelles.
Nous obtenons :
D'où les équations suivantes qui nous permettent de trouver a et b.
D'où :
De façon générale:
Avec
Qui peut aussi s'écrire, sachant qu'une racine est complexe et les autres réelles:
Avec car les racines sont réelles, D'où le système d'équations suivant :
D'où :
Donc:
Bonsoir,
Oui d'accord ,cela devrait confirmer la formule que je proposais:
,
S la somme des racines,P le produit.
Il se peut que ce type d'exercice soit rarement posé,
qu'en penses-tu?
Alain
Pour ta méthode avec les racines, il faut les avoir déjà. Avec un polynôme de degré n, ce n'est pas de la tarte.
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