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Racine complexe d'un polynôme

Posté par
alainpaul
16-06-14 à 12:10

Bonjour,

Je m'intéresse au calcul pratique des racines d'un polynôme;
soit P3(z) un polynôme de degré 3 à coefficients complexes possédant
2 racines réelles non nulles et une racine complexe zc=a+bi ,ab0 ,
calculer cette racine.


Exemple:
***********
28z^3+(14i-118)x^2+(62-45i)x+28-14i=0

Calculer zc


QUESTION
*************
Donner une formule permettant le calcul de cette racine complexe (a+bi,ab0 )
à partir des coefficients pour tout polynôme Pn(z) possédant n-1 racines
réelles non nulles.




Alain

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Racine complexe d'un polynôme 16-06-14 à 12:13

Je suppose que tu voudrais trouver la racine complexe sans calculer les racines réelles ?

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 16-06-14 à 12:29

Salut,


Effectivement.


Ce type de problème me semble rarement abordé sur ce site,
la généralisation  est peut être intéressante,



Alain

Posté par
pyth
re : Racine complexe d'un polynôme 16-06-14 à 13:34

la relation coeff racines appliquée à la somme des racines donne facilement la partie imaginaire de la racine

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Racine complexe d'un polynôme 16-06-14 à 15:24

A partir de l'exemple :

On annulle tous les termes réels de l'équation, on obtient : i(14z² - 45z - 14)

On fait la divison Euclidienne de [28z³ + (14i - 118)z² + (62 - 45i).z + 28 - 14i] par (14z² - 45z - 14), ce qui est quasi immédiat et on trouve comme quotient :  2z + (-2 + i)

En annulant ce quotient, il vient :

---> Zc = (2-i)/2 = 1 - i/2
-----

Cette technique devrait être valable pour tout polynôme Pn(z) possédant n-1 racines réelles non nulles.

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 16-06-14 à 19:33

Bonsoir,


Pourrais-tu davantage justifier la 'technique' que tu exposes?


Merci,



Alain

Posté par
Raptor
reponse 16-06-14 à 20:25

Bonsoir,

j ai trouvé cela: z = (-c/a) * ( (f/g) + i )

pour un polynome du type az^3 + (b+ci)z^2 + (d+ei)z + f+ig =0

mais bon cela ne marche que pour le degre 3 !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Racine complexe d'un polynôme 17-06-14 à 09:44

A partir de l'exemple : 28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i = 0

Soit xk les racines réelles de l'équation, les xk sont donc solutions de :

28.x³ + (14i - 118).x² + (62-45i).x + 28 - 14i = 0

28.x³ - 118.x² + 62.x + 28 + i(14.x² -45.x - 14) = 0

et donc :
28.x³ - 118.x² + 62.x + 28 = 0
ET
14.x² -45.x - 14 = 0

Toutes les racines réelles (ici x1 et x2) de l'équation de départ sont les valeurs pour lesquelles 14.x² - 45.x - 14 = 0.

on a : 14.x² -45.x - 14 = 14(x - x1).(x - x2)
----

28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i = 0 peut donc s'écrire : 28(z - x1).(z - x2).(z - zc)

soit aussi 2(14.z² -45.z - 14).(z - zc)

Et donc [28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i] est divisible par (14.z² -45.z - 14)

La division euclidienne de [28.z³ + (14i - 118).z² + (62-45i).z + 28 - 14i] par (14.z² - 45.z - 14) permet de trouver zc

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 17-06-14 à 11:23

Bonjour,


Merci pour t réponse détaillée,celle-ci permet de trouver les racines
réelles puis par division euclidienne zc ,


Je pense à une autre piste suggérée par pyth utilisant les parties imaginaires,



Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Racine complexe d'un polynôme 17-06-14 à 12:21

La "formule" est déduite immédiatement en observant ce qui se passe dans la division euclidienne que j'ai évoquée.

Le termes en Z^n et en Z^0 se déduisent immédiatement en observant la division éuclidienne ... qu'on peut donc ne pas effectuer.

Equation : A.z^n + (B + C.i).z^(n-1) + ... + (M + N.i) = 0  

(A/C).Zc + (M + N.i)/N = 0

(A/C).Zc + (M/N) + i = 0

Zc = -(C/A).((M/N) + i)

Sauf distraction.  

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 18-06-14 à 12:09

Bonjour,

Solution voisine.

Somme et  produit des racines:
S=-\frac{14i-118}{28}= -\frac{i}{2}+\frac{59}{14}

P=-\frac{28-14i}{28}=\frac{i}{2}-1 , im(P)=\frac{i}{2}

Une seule racine n'étant pas réelle
im(z_c)=im(S) ,  z_c=k\times P ,   k   réel,


Tous calculs faits:
z_c=\frac{im(S)}{im(P)}\times P =1-\frac{i}{2}



Alain

Posté par
Razes
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 17:08

Nous avons l'équation : P_{3}\left ( z \right )=28z^{3}+\left ( 14i-118 \right )z^{2}+\left ( 62-45i \right )z+28-14i=0

Si Z_{C}=a+ib avec  ab\neq 0 est une racine de cette équation donc ce polynôme peut s'écrire ainsi :
P_{3}\left ( z \right )=\left ( z-Z_{C} \right )\left ( 28z^{2}+\alpha z+\beta  \right ) ; avec  \alpha et \beta  réelles car les autres racines sont réelles.
P_{3}\left ( z \right )=\left ( z-a-ib \right )\left ( 28z^{2}+\alpha z+\beta  \right )

Nous obtenons :
P_{3}\left ( z \right )=\left 28z^{3}+\left ( \alpha -28a-i28b \right )z^{2}+\left ( \beta -\alpha a-i\alpha b \right )z+\left (-\beta a -i\beta b \right )

D'où les équations suivantes qui nous permettent de trouver a et b.

\left\{\begin{matrix}-i28b=14
 \\ \\ -i\beta b =-14i
 \\ \\ -\beta a=28
 \\ \\\alpha -28a=-118
 \\ \end{matrix}\right.
 \\ 
 \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
 \\ b=-\frac{1}{2}\\ \beta =-28
 \\ \\ a=1
 \\ \\ \alpha =-118+28=-90
 \\ \end{matrix}\right.

D'où :  Z_{C}=1-i\frac{1}{2}


De façon générale:
P_{n}\left ( z \right )=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}

Avec  a_{n}\in \mathbb{C}
Qui peut aussi s'écrire, sachant qu'une racine est complexe  et les autres réelles:
P_{n}\left ( z \right )=\left a_{n}\left ( z-Z_{C} \right )\left (z^{n-1}+\alpha_{n-2}z^{n-2}+...+\alpha_{0}\right )

Avec \alpha _{n}\in \mathbb{R} car les racines sont réelles, D'où le système d'équations suivant :

\left\{\begin{matrix}
 \\ a_{n-1}=a_{n}\left ( -Z_{C}+\alpha_{n-2}  \right )\\ a_{0}=-a_{n}\alpha_{0} Z_{C}
 \\ \end{matrix}\right.
 \\ 
 \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} Z_{C}=-\alpha_{n-2}-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}
 \\ \\ a_{0}=-a_{n}\alpha_{0} Z_{C}
 \\ \end{matrix}\right.
 \\ 
 \\ \Rightarrow 
 \\ \left\{\begin{matrix}
 \\ b=R_{e}\left (  Z_{C}\right )=R_{e}\left ( -\alpha_{n-2}-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )=-R_{e}\left ( \frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )\\ 
 \\ \\ \alpha_{0} Z_{C}=\alpha_{0}\left ( a+ib \right )=-a_{0}/a_{n}
 \\ \end{matrix}\right.


D'où :

 \\ \left\{\begin{matrix}
 \\ b=-R_{e}\left ( \frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )\\ 
 \\ \\ \alpha_{0}\left ( a+ib \right )=-a_{0}/a_{n}
 \\ \end{matrix}\right.
 \\ \Rightarrow 
 \\ \left\{\begin{matrix}
 \\ 
 \\ b=-R_{e}\left ( \frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )\\ \alpha_{0}a=-R_{e}\left ({a_{0}/a_{n}}  \right )
 \\ \\ \alpha_{0}b=-I_{e}\left ({a_{0}/a_{n}}  \right )
 \\ \end{matrix}\right.
 \\ 
 \\ \Rightarrow 
 \\ \left\{\begin{matrix}
 \\ 
 \\ b=-R_{e}\left ( \frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )\\ \alpha_{0}=R_{e}\left (a_{n}/a_{n-1}   \right ) .I_{e}\left ({a_{0}/a_{n}}  \right )
 \\ \\ a=-R_{e}\left ({a_{0}/a_{n}}  \right ).R_{e}\left (a_{n-1}/a_{n}   \right ) .I_{e}\left ({a_{n}/a_{0}}\right )\end{matrix}\right.

Donc:
\left\{\begin{matrix}
 \\ a=-R_{e}\left ({a_{0}/a_{n}}  \right ).R_{e}\left (a_{n-1}/a_{n}   \right ) .I_{e}\left ({a_{n}/a_{0}}\right )\\ b=-R_{e}\left ( \frac{a_{n-1}}{a_{n}} \right )
 \\ \end{matrix}\right.
 \\

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 18:03

Bonsoir,


Oui d'accord ,cela devrait confirmer la formule que je proposais:

z_c=P \times \frac{im(S)}{im(P)} ,
S la somme des racines,P le produit.

Il se peut que ce type d'exercice soit rarement posé,
qu'en penses-tu?


Alain

Posté par
Razes
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 19:04

Désolé AlainPaul, j'avais fait une qlq erreurs dans les dernières lignes.

\left\{\begin{matrix}    Z_{c}=-\alpha_{n-2}-\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )
 \\ \\          \alpha_{0}a_{n}Z_{c}=-a_{0}
 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix} b=Im\left(Z_{c}\right )=Im\left (-\alpha_{n-2}-\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )  \right )=-Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )
 \\ \\          \alpha_{0}Z_{c}=-\left (a_{0}/a_{n}  \right )
 \\ \end{matrix}\right.

Qui devient :

\left\{\begin{matrix} b=-Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )
 \\ \\          \alpha_{0}b=-Im\left (a_{0}/a_{n}  \right )
 \\ \\   \alpha_{0}a=-Re\left (a_{0}/a_{n}  \right )
 \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=-Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )
 \\ \\          \alpha_{0}=Im\left (a_{0}/a_{n}  \right )/Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )
 \\ \\   a=-Re\left (a_{0}/a_{n}  \right ).Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )/Im\left (a_{0}/a_{n}  \right )
 \\ \end{matrix}\right.

D'où :

Z_{c}=-\left (Im\left (a_{n-1}/a_{n}  \right )/Im\left (a_{0}/a_{n}\right )\right )\left (Re\left (a_{0}/a_{n}\right )+iIm\left (a_{0}/a_{n} \right )\right )

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 20:01

Bonne soirée,


OK

"Il se peut que ce type d'exercice soit rarement posé,
qu'en penses-tu? "



Alain

Posté par
Razes
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 20:44

Tu es en quelle classe?

Posté par
Razes
re : Racine complexe d'un polynôme 22-06-14 à 21:17

On peut encore simplifier l'écriture :

Z_{c}=-\frac{I_{m}\left ( a_{n-1}\overline{a}_{n}\right )}{I_{m}\left (a_{0}\overline{a}_{n} \right )}\left (\frac{a_{0}}{a_{n}}\right )

Posté par
Razes
re : Racine complexe d'un polynôme 23-06-14 à 01:22

Pour ta méthode avec les racines, il faut les avoir déjà. Avec un polynôme de degré n, ce n'est pas de la tarte.

Posté par
alainpaul
re : Racine complexe d'un polynôme 23-06-14 à 09:31

Bonjour,

Il me semble que tu n'as pas vu l'intérêt de ma proposition:
p(z)=a_0(x-x_1)(x-x_2)(x-z_c)

Produit des racines (a_0x_1x_2)z_c
...

Relis mon mail du 18/06,


Alain



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