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Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 16:32


-\frac{3}{2} = \frac{b}{a}

\frac{3}{2} = \frac{-b}{a}



donc -\frac{3}{2} = -  \frac{ -b}{a}

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 16:58

peux-tu un jour répondre clairement à une question qu'on te pose
on demande d'exprimer S, rien d'autre, et là je vois 3 égalités successives !
S=

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 17:07

tu m'as demandé comment je peux avoir -3/2 avec a=2 et b = -3
j'ai mis : -3/2 = b/a

ensuite tu m'as demandé comment trouvé 3/2 avec les mêmes lettres
j'ai répondu : 3/2 = -b/a

j'ai simplement du mal à faire le lien entre les deux égalités...  

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 17:08

ton énoncé veut S, donc je veux S

malou @ 03-10-2018 à 16:58

peux-tu un jour répondre clairement à une question qu'on te pose
on demande d'exprimer S, rien d'autre, et là je vois 3 égalités successives !
S=

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 17:17

S = -b/a

mais le post de 13:34 dans le quel tu m'as demandé pour -3/2
et bien ça m'a compliqué les choses, en fait j'ai cherché à faire compliqué...

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 17:28

S = -b/a
oui

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 18:05

il faut étudier les liens possibles avec \left\lbrace\begin{matrix} \\ u + v = S\\ \\ u \times v = P \\ \end{matrix}\right. et déterminer toutes les solutions quand S = \frac{3}{2} et P = \frac{1}{2}

j'ai mis que u et v sont les racines de 2x^2 - 3x + 1 et qu'il n'y a que ces 2 solutions

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 18:10

oui, ok

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 18:53

4) Soit g la fonction trinôme de degré 2 définie sur R par g : \mapsto ax^2 + bx + c montrer que dans le cas où g possède 2 racines x_1etx_2 celles-ci vérifient \left\lbrace\begin{matrix} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \end{matrix}\right.
En déduire que si u et v sont racines de g alors (u,v) est solution de \left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{matrix}\right.


ma réponse :

\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + (-b) -\sqrt{\Delta} + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}


en posant x_1 = u et x_2 = v puis S = -\frac{b}{a}

j'ai bien u + v = S

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 18:57

oui, faudra montrer ton produit

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 19:05

exact ( j'ai oublié le produit )

\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = ???

pour avoir du c dans mon résultat ,  dois-je poser \Delta = b^2 - 4ac ?

je vois que ça ...

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 19:41

oui

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 20:08

x_1 \times x_2 =\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}


x_1 \times x_2 =\frac{-b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


\frac{-b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b}{2a}\times\frac{-b}{2a} - \left(\frac{b}{2a} \right)\times \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) - \left(\frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \right) \times
\left(\frac{-b}{2a} \right)-\left( \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)\times\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right)

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 20:54

mais ne perds pas ton temps à écrire tout ça sur le site, sois efficace !
je reprends à 19h05
(Z+R)(Z-R)=Z²-R²
et (T)²=T

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 21:12

mathchim @ 03-10-2018 à 18:53

4) Soit g la fonction trinôme de degré 2 définie sur R par g : \mapsto ax^2 + bx + c montrer que dans le cas où g possède 2 racines x_1etx_2 celles-ci vérifient \left\lbrace\begin{matrix} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \end{matrix}\right.
En déduire que si u et v sont racines de g alors (u,v) est solution de \left\lbrace\begin{matrix} u + v = S\\ u\times v = P \end{matrix}\right.


ma réponse :

\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + (-b) -\sqrt{\Delta} + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}


en posant x_1 = u et x_2 = v puis S = -\frac{b}{a}

j'ai bien u + v = S
l'objectif est évidemment de le faire sans les formules donnant les racines !!!

l'exercice n'a aucun intérêt autrement ...

voir DM de maths Second degré

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 03-10-18 à 21:26

\left(\frac{b}{2a} \right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)^{2} = \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} = \frac{b^{2} -b^{2}- 4ac}{4a^{2}} = -\frac{c}{a}

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 15:05

Bonjour malou

tout d'abord merci beaucoup pour l'aide.

Carpediem m'a proposé de faire le calcul sans les formules des racines

le polynôme ax^2 + bx + c   admet 2 racines , je peux le mettre sous sa forme factorise

ax^{2} + bx +c = a \left(x - x_1 \right)\left(x - x_2 \right)

(je développe la partie droite de l'égalité )

a \left(x - x_1 \right)\left(x - x_2 \right) = a \left(x^{2} -x \times x^{2} - x_1 \times x + x_1\times x_2 \right)
<=>
a \left(x^{2} -x \times x^{2} - x_1 \times x + x_1\times x_2 \right) = a x^{2} - a x \times x^{2} - a x_1 \times x + a x_1 \times x_2  


j'ai factorisé par x² pour identifier avec x² et je trouve : x^{2} \left(1 - ax \right)
mais je vois pas comment identifier par x
Peut - tu m'aider ? s'il te plait

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 15:31

euh.. c'est plutôt

a \left(x - x_1 \right)\left(x-x_2 \right) = a\left(x^{2} - x\times x_2 - x_1\times x +x_1.x_2 \right)

a\left(x^{2} - x\times x_2 - x_1\times x +x_1.x_2 \right) = ax^{2} - ax.x_2 - ax_1.x + ax_1x_2

Posté par
malou Webmasterre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 16:12

qu'il serait plus opportun d'écrire
a(x²-(x_1+x_2)x+x_1x_2))

....qui vaut a(x^2+\dfrac b ax +\dfrac c a )

et tu identifies, et c'est gagné

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 18:02

Les polynomes  a\left(x^2 +\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right) et a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) sont égaux

leurs coefficient aussi

Ainsi :

a\left(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left(x^{2}-x.x_2 -x_1.x +x_1.x_2 \right)

<=>

a\left(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a\left(x^{2}-x\left(x_2 + x_1\right)+x_1.x_2 \right)


pour x²    j'ai a = a

pour x     j'ai b/a = - (x1 + x2) => - b/a =x_1+x_2

pour x°    j'ai c/a = x_1\times x_2


c'est vraiment génial !

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 19:06

une remarque de forme ...

plutôt que d'utiliser des indices avec la même lettre que la variable pourquoi ne pas changer et utiliser u et v (par exemple)

l'alphabet compte 26 lettres dont quatre sont utilisées : a, b, c et x ... donc tu as le choix

a(x - u)(x - v) = ... = a[x^2 - (u + v)x + uv] = ax^2 - a(u + v)x + auv = ax^2 + bx + c

et l'identification donne immédiatement le résultat ...

et c'est autrement plus lisible !!!


ne pas savoir / être capable de se libérer des variables utilisées est une aliénation ...

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 19:08

pour confirmer mon propos :

Citation :
j'ai factorisé par x² pour identifier avec x² et je trouve : x^{2} \left(1 - ax \right)
mais je vois pas comment identifier par x
Peut - tu m'aider ? s'il te plait
parce que tous ces x rendent illisible ce que l'on veut voir ...

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 20:17

Bonsoir Carpe Diem et merci pour tes conseils

j'ai tout refait avec des lettres différentes de la variable

ax^{2}+bx +c = a \left(x - u \right) \left(x - v \right)
<=>
ax^{2}+bx + c = a\left(x^{2}- xv -vx + uv \right)
<=>
ax^{2}+bx + c = a \left(x^{2}- \left(u + v \right)x + uv \right)
<=>
ax^{2}+bx + c =ax^{2} - a\left(u +v \right) x + auv



Les deux polynômes sont égaux , leurs coefficients aussi

pour x²   a = a

pour x    b= - a (u + v) => -(u + v) = \frac{b}{a} => u + v = - \frac{b}{a}

pour x°   c = a \times u \times v = >  u \times v = \frac{c}{a}

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 20:22

sans oublier de préciser/rappeler que a n'est pas nul

inutile de s'occuper du coefficient de x^2 ...

c'est beaucoup plus clair et propre : pour les équivalences en latex : \iff donne \iff

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 20:30

oui , si a est nul il s'agit d'une fonction affine ( d'une droite )
c'est bien ça ?

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 20:31

et surtout il n'y aura pas deux racines ...

Posté par
mathchimre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 20:47

je sais pas si je dis une bêtise mais si le trinôme a deux racines mais doubles ( si \Delta = 0 : l'équation ax^2 + bx + c = 0 a une solution double donc je prends la même lettre , disons la lettre u

ax^2 + bx + c = a (x - u) (x - u)

est ce que c'est possible ? dans ce cas , je développe et j'identifie ??

Posté par
carpediemre : racines de 2 x² -3x + 1 04-10-18 à 21:41

tout à fait ...

ou alors tu fais v = u  dans ce qui précède ...

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