Bonjour,

je trouve 16 valeurs pour n :

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2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 36, 37, 39, 42, 43, 44, 46, 47

Il reste à confirmer ou à infirmer le "je pense" , la partie intéressante de l'énigme

Imod

Bonjour,
J'en suis au même point:

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n  2 3 4 5   7   8   10 14   36   37    39     42    43    44       46  49          
s  2 3 5 7 11 13 19 31  131  137 149 167 173 179  191  197
Au delà les valeurs entières des racines sont souvent les mêmes ce
qui diminue les chances d'en trouver

Toutefois...
Je sens que Littlefox va intervenir

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n 16246 -->s1 372 741
et j'en ai d'autres.

@Dpi : attention aux arrondis

Imod

J'ai respecté les |  |
j'en suis à  63  soit  47 de plus que les premiers 16
>liste sur demande

Imod : je confirme mon "je pense".

Bonsoir,
Je donne la liste des "surprises"

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@Dpi : Je ne sais pas si je vais pouvoir te répondre un jour , c'est  mon 4ème essai ( le site a vraiment des problèmes ) .

Dans la dernière valeur de ta première liste la valeur de n n'est pas bonne ( peut-être une erreur de frappe ) .

Pour n=16 246 je trouve ( à la main ) S=1 367 155 qui n'est pas premier .

Je ne tente pas l'aperçu de peur de disparaitre à  nouveau

Imod

Effectivement ,il y a un grand vide après n 47-->s 197
La première surprise est n 16130 avec une somme des valeurs entières des racines de 1 357 757

On voit que ces fameuses valeurs entières restent les mêmes
entre deux carrés (what else ).
Donc leur somme peut se calculer rapidement...
ainsi il faut attendre 127 pour voir notre n16130
or le dernier 126 est 16128 -->s 1 357 503.
Il suffit de rajouter 2 fois 127.
Nous avons donc bien n16130 et s=1357757

Enormes difficultés aussi
Par contre analyse ma "preuve"

En effet on calcule facilement la somme des parties entières des racines ( il y a quand même deux paramètres ) . Ta "preuve" ressemble à la mienne qui prouve qu'il n'y a pas de solution après n=47 . Je te laisse retrouver ton erreur

Imod

salut

soit p et q tels que

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alors

preuve pour 16246

16246-16128=118
il faut donc rajouter 118 x127=14986 au dernier n ayant 126
soit 14 986+ 1 357 503=1 372 489 qui est premier.

>Imod

On pourrait comparer nos sommes pour voir l'erreur

@Carpediem : il y a une faute de signe dans ta formule mais c'est bien parti .

Imod

@Dpi : tu peux lire le message de Carpediem qui a bien avancé

Imod

On a besoin de l'arbitrage vidéo (genre programme Littlefox)
En attendant,je confirme ma liste et ma preuve.

@Carpediem : désolé pas de faute de signe , il faut que je soigne mes pattes de mouches

Imod

Un petit extrait ...
A partir de 1296 (col.2), on va avoir 71 lignes (col.3), où on va ajouter systématiquement 36(col.1), et la valeur actuelle de la somme est 33078 (col.4) et ce nombre n'est pas premier avec 36 (pgcd en col.5) donc les 71 lignes en questions seront toutes des multiples de 6.

En regardant ce tableau jusqu'à 20 000 000 en colonne 2, aucun contre exemple.

Donc,
Je me suis appuyé sur une liste* de premiers inexacte.
tous les nombres sont exacts mais ne sont pas premiers

*mon crible pour la constituer n'était pas assez élaboré et à  laissé
passer des nombre à 2  diviseurs ...
Je suis sûr de ma liste de premiers jusqu'à 1 million (cf un jeu de jamo)

salut,
quelques conjectures.

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n, s, s premier?, liste diviseurs de s

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fonction Somme(n)
  var s,L,k;
  s:=0;L:=[];
  pour k de 1 jusque n faire
    s:=s+floor(sqrt(k));
    si est_premier(s) alors
      L.append([k,s]);
    fsi
  fpour
  retourne L
ffonction:;

Somme(1000000) retourne:

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Faut-il rappeler que tout peut se faire à la main sans artillerie lourde . J'ajoute que les connaissances arithmétiques du lycée sont largement suffisantes .

Imod

A jeun ce matin ,mon bidule avec la bonne liste des premiers refuse
mes "surprises" dommage

cette sommes s'écrit encore

cette somme s est première si :

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p = 1 et n est premier donc n € {2, 3}

p = 6 et 6n - 5 x 17 est premier et positif donc 35 < n < 49 (on liste alors toutes les possibilités)  (*)

p est premier et

or  

donc  


on teste les cas q = 0 et q = 1
ensuite le trinome de gauche est strictement positif donc pas de solution

(*) peut-être faut-il regarder les cas p = 2 et p = 3 aussi ...

L'idée de la factorisation est bonne , la suite me parais bien compliqué .

On a et

J'ai changé le p en m car p fait trop penser à premier .

Il faut ensuite regarder les différents diviseurs premiers possible de m comme tu l'as fait , il y a quelques cas à étudier .

Imod

Bonjour,

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je trouve la même somme que carpediem
s=(p-1)p(4p+1)/6+p(q+1)
En écrivant p=6k on a nécessairement k=0 ou 1
et pour p=6k+1 à p=6k+5 on a toujours un facteur commun entier >1 sauf si k=0
Exemple
pour p=6k+3:
s=(3k+1)(2k+1)(24k+13)+(6k+3)(q+1)   facteur commun    2k+1
Conclusion p est inférieur ou égal à 6. Ce qui termine l'exercice en vérifiant à la main les premières valeurs.  

Oui , c'est plus simple et plus complet

Une autre façon :

Si p est un diviseur premier de m différent de 2 et 3 alors p divise S et S>p : impossible .
Si 4 divise m alors S est divisible par 2 et S>2 : impossible .
Si 9 divise m alors S est divisible par 3 et S>3 : impossible .

Alors m est inférieur ou égal à 6 .

Imod

Et merci pour ce joli exercice.

effectivement je me suis compliqué un peu les choses ...

en fait c'est la division par 6 qui me perturbait ...

mais en fait on s'en fout car quelle que soit la valeur de p le premier produit de est multiple de 6

donc soit p = 6 soit p contient un facteur premier rendant s non première ... sauf peut-être pour p = 1

p = 0 n'a guère d'intérêt par contre il me semble que jarod128 oublie le cas p = 1

enfin plutôt p > 6 ne donne aucune solution ...

Je n'ai pas mis toute la rédaction. Pour p=6k+1, on a forcément k=0 et p=1 à essayer

@Jarod128 : ce qui rend la solution intéressante , c'est qu'elle se résume à deux éléments , la factorisation du m ( le p de Carpediem ) et le dénominateur 6 . Le reste n'est que du bricolage plus ou moins astucieux  

Imod

Bonjour,
J'ai bien aimé cet exercice qui aura eu le mérite de me rendre compte que j'avais extrapolé une liste* de premiers donnée par jamo  il y a une dizaine d'années à l'occasion d'une grille de chiffres.

*Mon crible avait sauté quelques cases...

Tu développes des outils qui permettent de répondre très vite à des questions complexes . Après il reste toujours une petite question , et si on continue au delà du tableau ...

Imod

c'est là qu'interviennent les ténors

Il ne faut pas se priver du meilleur : l'homme plus fort que la machine

Imod

merci !!