Bonjour à tous
Un problème que l'on peut résoudre à la main sans robot ni calculatrice mais chacun fait comme il le sent .
On définit : .
Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles est premier ?
Amusez-vous bien
Imod
PS : Les crochets vers le bas désignent la partie entière .
Bonsoir,
Je donne la liste des "surprises"
@Dpi : Je ne sais pas si je vais pouvoir te répondre un jour , c'est mon 4ème essai ( le site a vraiment des problèmes ) .
Dans la dernière valeur de ta première liste la valeur de n n'est pas bonne ( peut-être une erreur de frappe ) .
Pour n=16 246 je trouve ( à la main ) S=1 367 155 qui n'est pas premier .
Je ne tente pas l'aperçu de peur de disparaitre à nouveau
Imod
Effectivement ,il y a un grand vide après n 47-->s 197
La première surprise est n 16130 avec une somme des valeurs entières des racines de 1 357 757
On voit que ces fameuses valeurs entières restent les mêmes
entre deux carrés (what else ).
Donc leur somme peut se calculer rapidement...
ainsi il faut attendre 127 pour voir notre n16130
or le dernier 126 est 16128 -->s 1 357 503.
Il suffit de rajouter 2 fois 127.
Nous avons donc bien n16130 et s=1357757
En effet on calcule facilement la somme des parties entières des racines ( il y a quand même deux paramètres ) . Ta "preuve" ressemble à la mienne qui prouve qu'il n'y a pas de solution après n=47 . Je te laisse retrouver ton erreur
Imod
salut
soit p et q tels que
preuve pour 16246
16246-16128=118
il faut donc rajouter 118 x127=14986 au dernier n ayant 126
soit 14 986+ 1 357 503=1 372 489 qui est premier.
On a besoin de l'arbitrage vidéo (genre programme Littlefox)
En attendant,je confirme ma liste et ma preuve.
Un petit extrait ...
A partir de 1296 (col.2), on va avoir 71 lignes (col.3), où on va ajouter systématiquement 36(col.1), et la valeur actuelle de la somme est 33078 (col.4) et ce nombre n'est pas premier avec 36 (pgcd en col.5) donc les 71 lignes en questions seront toutes des multiples de 6.
En regardant ce tableau jusqu'à 20 000 000 en colonne 2, aucun contre exemple.
36 | 1296 | 71 | 31078 | 6 |
37 | 1369 | 73 | 35853 | 37 |
38 | 1444 | 75 | 38779 | 19 |
39 | 1521 | 77 | 41860 | 13 |
Donc,
Je me suis appuyé sur une liste* de premiers inexacte.
tous les nombres sont exacts mais ne sont pas premiers
*mon crible pour la constituer n'était pas assez élaboré et à laissé
passer des nombre à 2 diviseurs ...
Je suis sûr de ma liste de premiers jusqu'à 1 million (cf un jeu de jamo)
Faut-il rappeler que tout peut se faire à la main sans artillerie lourde . J'ajoute que les connaissances arithmétiques du lycée sont largement suffisantes .
Imod
L'idée de la factorisation est bonne , la suite me parais bien compliqué .
On a et
J'ai changé le p en m car p fait trop penser à premier .
Il faut ensuite regarder les différents diviseurs premiers possible de m comme tu l'as fait , il y a quelques cas à étudier .
Imod
Oui , c'est plus simple et plus complet
Une autre façon :
Si p est un diviseur premier de m différent de 2 et 3 alors p divise S et S>p : impossible .
Si 4 divise m alors S est divisible par 2 et S>2 : impossible .
Si 9 divise m alors S est divisible par 3 et S>3 : impossible .
Alors m est inférieur ou égal à 6 .
Imod
effectivement je me suis compliqué un peu les choses ...
en fait c'est la division par 6 qui me perturbait ...
mais en fait on s'en fout car quelle que soit la valeur de p le premier produit de est multiple de 6
donc soit p = 6 soit p contient un facteur premier rendant s non première ... sauf peut-être pour p = 1
p = 0 n'a guère d'intérêt par contre il me semble que jarod128 oublie le cas p = 1
@Jarod128 : ce qui rend la solution intéressante , c'est qu'elle se résume à deux éléments , la factorisation du m ( le p de Carpediem ) et le dénominateur 6 . Le reste n'est que du bricolage plus ou moins astucieux
Imod
Bonjour,
J'ai bien aimé cet exercice qui aura eu le mérite de me rendre compte que j'avais extrapolé une liste* de premiers donnée par jamo il y a une dizaine d'années à l'occasion d'une grille de chiffres.
*Mon crible avait sauté quelques cases...
Tu développes des outils qui permettent de répondre très vite à des questions complexes . Après il reste toujours une petite question , et si on continue au delà du tableau ...
Imod
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :