Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Produit scalaireTopics traitant de Produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

rayon d'une famille de cercles

Posté par
hasshass 22-12-17 à 16:00

svp aider moi à  determiner le rayon et la tengente commune de la famille des cercles Cm definis par
x^2+y^2-2mx-2y(m^2+1)+\frac{(m^2+2)(m^2+2m-1)}{2}=0

Posté par
ThierryPomare : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:11

Bonsoir,

Pourtant,

x^2-2\,m\,x=(x-m)^2-m^2

et

y^2-2\,y\,(m^2+1)=(y-(m^2+1))^2-(m^2+1)^2

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:16

Bonjour,

pour le calcul des rayons mettre séparément les parties "en x" et les parties "en y" sous leur forme canonique

x²-2mx = (x-m)² - m²
et pareil pour y-2(m²+1)y = (y - ...)² - ...

(pour obtenir l'équation sous le forme (x-x0)²+(y-y0)² = R²)

ensuite ...on verra
une idée est de faire une conjecture avec un logiciel dynamique pour "deviner" quelle est cette tangente commune si tangente commune il y a
puis de prouver que cette droite là est tangente au cercle quel que soit m

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:31

oui mais ça donne un calcul très compliqué
(x-m)^2+(y-(m^2+1))^2=m^2+(m^2+1)^2 +\frac{(m^2+2)(m^2+2m-1)}{2}

Posté par
ThierryPomare : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:35

L'on a
(x-m)^2+(y-(m^2+1))^2=m^2+(m^2+1)^2 {\red-}\frac{(m^2+2)(m^2+2m-1)}{2}=\cdots

non ? On continue...

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:41

erreur de signe (la fraction passe de l'autre côté du signe "=")

eh oui, c'est compliqué et il faut retrousser ses manches...
même dénominateur, développer et "voir" le carré d'un trinome du second degré au numérateur

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:45

ThierryPoma : je te laisse poursuivre, tu avais commencé.
sinon ça va faire de l'écho

Posté par
ThierryPomare : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 16:47

Bonsoir Mathafou,

Je préfère que tu poursuives, car je sors.

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:07

ça fait  trop chaud
        je n'arrive pas à factoriser ce terme

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:13

en développant ca donne pour le deuxième terme d l'égalité
\frac{m^4-2m^3+5m^2-4m+2}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:20

le terme constant +2 est faux
à toi de chercher ton erreur.

Posté par
lakere : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:31

Bonjour à tous,

>>mathafou

   Tu vas faire une conjecture avec GeoGebra: une tangente commune d'équation ...

    Et tu vas vérifier ta conjecture; très bien.

    Mais le fait qu'il n'y en ait qu'une va rester une conjecture

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:41


en fait on peut justifier que c'est la seule car si les cercles étaient tangents à deux droites fixes leurs centres se trouveraient sur une bissectrice de ces deux droites (ou sur la "médiane" si elles sont parallèles)
or on peut montrer facilement que les centres ne sont pas alignés

Posté par
lakere : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:44

Tu as raison; c'était juste pour te titiller

Sur ce, je m'éclipse

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:45

effectivement le terme constant +2 est faux
  voici la formule exact  du deuxième\frac{m^4-2m^3+5m^2-4m+4}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 17:50

voila,
et maintenant

Citation :
et "voir" le carré d'un trinome du second degré au numérateur

c'est à dire que il existe des nombres réels a,b,c tels que

(am^2+bm+c)^2 = m^4-2m^3+5m^2-4m+4

la valeur de a et de c est immédiate

reste b et de vérifier que c'est bien vrai ...
(parce que après tout c'est une espèce de sorte de miracle que ça puisse effectivement s'écrire comme ça)

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 18:10

moi je lève la main
                  je ne peu plus rien faire

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 18:36

quand on développe (am^2+bm+c)^2 on va avoir le terme (am^2)^2 = a^2m^4, à comparer au terme m^4 de l'autre côté

donc a = 1
etc ... (c est obtenu tout aussi facilement)

pour b on se simplifie la vie si on connait le développement de (a+b+c+ ...)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + ... + 2ab + 2ac + 2bc + ...

ça évite de faire la distributivité de (am^2+bm+c)(am^2+bm+c) (mais pas si complique que ça)
ou d'appliquer deux fois de suite l'identité remarquable classique dans ((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + c^2 + 2(a+b)c = ... (pas bien compliqué non plus)

tous ces calculs ne présentent aucune difficulté technique
juste qu'ils sont un peu longs ..

le calcul du rayon servira ensuite à montrer la propriété de tangence si la distance du centre à la droite est égale au rayon pour tout m.

au pire on peut ne pas chercher à simplifier l'expression du rayon et la garder telle quelle en m^4 etc

et alors la condition de tangence sera que le carré de la distance à la droite devra être égal au carré du rayon
en développant le carré de la distance on devrait donc obtenir l'expression en m^4 que l'on a pour l'instant.

pour se reposer de tous ces calculs, on peut faire tracer le cercle courant par Geogebra
(à partir de m défini par un curseur, en tapant l'équation en x et m directement telle quelle dans la zone de saisie)
et conjecturer cette fameuse droite ...

sans Geogebra et ses possibilités de faire varier m à volonté :

on peut prendre deux cercles particuliers (je suggère pour m = 0 et pour m = -1)
et chercher leur(s) tangente(s) communes(s)

si l'ensemble de tous les cercles admet une tangente commune ce sera parmi celle(s) là
le choix de m = 0 et -1 est .... hum intéressant si on pense d'abord à chercher leur(s) points d'intersection (hé hé)

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 22:57

grâce  à Geogebra j(ai pu factoriser
l5equation devient
(x-m)^2+(y-(m^2+1))^2=\frac{(m^2-m+2)^2}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 22-12-17 à 23:38

OK, donc on connait maintenant le rayon et le centre de chacun de ces cercles "en fonction de m"

mais on pouvais tout de même faire sans logiciel ! du moment que j'avais suggéré que c'était de cette forme là (am^2+bm+c)^2
il faut savoir le faire sans logiciel :
développer (am^2+bm+c)^2 et "identifier" les coefficients à ceux de m^4-2m^3+5m^2-4m+4
coefficient de m^4 : a^2 = 1 a = \pm 1 immédiat, et comme (-A)^2 = (+A)^2 on peut choisir a = +1
coefficient de m^3 : 2ab = -2 comme a = 1, donc b = -1
coefficient de m^2 : b^2 + 2ac = 5 comme a = 1 et b = -1 donc c = 2
coefficient de m : 2bc = -4 est alors vérifié (vérification indispensable)
terme constant : c^2 = 4 est alors vérifié ( " " )


reste l'histoire de tangente commune :
comme dit précédemment ...

Posté par
hasshassre : rayon d'une famille de cercles 23-12-17 à 09:45

oui c"est l'histoire des tangentes qui reste maintenant

Posté par
mathafou Moderateurre : rayon d'une famille de cercles 23-12-17 à 10:46

et alors ?
qu'as tu conjecturé comme tangente possible avec Geogebra ?
(ou en étudiant sur papier les deux cercles m = 0 et m = -1 qui ont une particularité remarquable)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1694 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !