bonjour

pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice?MERCI

Recherche d'un minimum

Soit a un réel strictement positif.Peut-on choisir a pour que la somme de a et de son inverse soit minimale?

1)Montrerque ce probleme consiste à determiner le minimum de la fonction f(x)= x+1/x.

2)Conjecture graphique à l'aide de fonctions de base
On a tracé ci dessous la droite D d'equation y=x et l'hyperbole H d'equation y=1/x.

On considere un reel x>0 et les points H, P et Q d'abcisse x respectivement sur l'axe des abcisses, sur D et sur H.


FIFURE N°1

-Donner les coordonnées de H, P et Q en fonction de x.
-Quelles sont les coordonnées du point M defini par HM= HP+HQ ?

-En deduire un procede graphique pour construire point par point la courbe representative Cf de la fonction f.
Conjecturer la valeur minimale de f.

b) Demonstration algebrique.
Verifier,que pour tout reel x positif non nul, f(x)= 2+ (x-1)²/x , puis conclure.



Application a un probleme Geometrique.

ABCD est unrectangle tel que AB=1 et AD=2.
Soit M unpoint de la demi droite [Bu).
La droite (CM) coupe la droite (AD) en N. On pose BM=x.

Comment choisir x pour l'aire de la surface jaune soit minimale?

1°a) Montrer que l'aire du rectangle CDN est égale a 1/x.

b)Utiliser les resultats precedents pour resoudre le probleme.

2° Solution geometrique
On construit les symetriques D' et N' des points D et N par rapport a C.
on sait qu'une symetrie centrale conserve les aires.
En deduire que, pour otut x positif , l'aire jaune est superieure ou egale a 2.