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Recherche de fonctions vérifiant une propriété d'unicité

Posté par
Sylvieg Moderateur 17-12-23 à 10:27

Bonjour,
Je propose une généralisation de cet exercice que j'ai trouvé intéressant : Recherche de fonctions
Je vous conseille de ne pas regarder ma solution, car vous en trouverez peu-être une plus simple.

Soit k un réel strictement positif.
Déterminer les fonctions de +* vers +* qui vérifient cette propriété :
Pour tout réel x strictement positif il existe un unique réel y strictement positif tel que
xf(y) + yf(x) k.

Posté par
Ulmierere : Recherche de fonctions vérifiant une propriété d'unicité 17-12-23 à 16:34

Pour k et f donnés, la véracité de l'énoncé a deux conséquences

1) il existe une involution \phi_{k,f} : \R_+^\ast\to\R_+^\ast
2) pour tout j\geqslant k, \phi_{j,f} := \phi_{k,f} est aussi une involution-solution et c'est la seule en raison de l'unicité de y à x fixé.

Tu peux donc changer ton énoncé en

Citation :
Supposons que
\inf\{k>0 | \exists f:\R_+^\ast\to\R_+^\ast\neq 0, \exists \phi_{k,f}:\R_+^\ast\to\R_+^\ast, \phi_{k,f}\circ \phi_{k,f} = id \wedge \psi_{k,f} + \psi_{k,f}\circ\phi_{k,f} \leqslant k, \text{ où } \psi_{k,f} = id\times (f\circ \phi_{k,f}) \} < \infty
Notons k ce minimum. Déterminer \left(\phi_{k,\cdot}\right)^{-1}\left(\{g:\R_+^\ast\to\R_+^\ast, g\circ g = id \wedge id\times (f\circ g) + (id\times (f\circ g))(g) \leqslant k\}\}\right\setminus\{0\}) en n'oubliant pas que (id\times (\textrm{--}\circ \phi_{k,\cdot})) = \psi_{k, \cdot}


Qui est très facile à lire
Tout ça pour dire que

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Posté par
Sylvieg Moderateurre : Recherche de fonctions vérifiant une propriété d'unicité 17-12-23 à 20:37

Bonsoir Ulmiere,
Je parlais d'une solution plus simple
Les outils de la classe de seconde permettent d'aboutir.

Posté par
Imodre : Recherche de fonctions vérifiant une propriété d'unicité 18-12-23 à 11:46

Bonjour

J'aurais plutôt mis 2k au lieu de k . Tout ça ressemble beaucoup à un trinôme du second degré  

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Recherche de fonctions vérifiant une propriété d'unicité 18-12-23 à 19:20

Bonsoir Imod,
J'ai mis k et pas 2k pour corser un peu la chose
Sinon, plutôt qu'un trinôme du second degré, c'est une identité remarquable qui intervient dans ma solution.
Mais l'utilisation de propriétés des trinômes permet peut-être une solution plus simple.


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