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Recherche de fonctions
Bonjour
On nous demande de trouver toutes les fonctions de R+* dans R+*
Tel que pour tout x de R+* il existe exactement un réel y de R+* vérifiant que
xf(y)+yf(x)
2Qui peut me donner une idication
J'ai essayé avec des fonction usuelles comme l'identité mais ça ne marche pas.
Merci
On nous demande de trouver
Peut-on avoir la formulation exacte ?
La question est de trouver toutes les fonctions avec les conditions que j'ai donné.
Ca marche pour -1/x
Trouver toutes les fonctions f de R+* dans R+*
Tel que pour tout x de R+* il existe exactement un réel y de R+* vérifiant que
xf(y)+yf(x)2
C'est ça la question exactement
Supérieur ou égal à 2.
Ce que l'on doit vérifier avec f(x) = 1/x :
Un réel x > 0 étant fixé, il y a un unique réel y > 0 tel que
xf(y) + yf(x) 2.
C'est à dire tel que x/y + y/x 2.
Je ne vais plus être disponible. Mais d'autres îliens viendront te donner un coup de main.
Bingo ça marche pour 1/x
Maintenant il faut trouver d'autres fonctions ou montrer que c'est l'unique
salut
J'ai essayé avec des fonction usuelles comme l'identité mais ça ne marche pas
puisqu'on travaille dans I = ]0, +oo[ alors tu peux immédiatement remarquer que :
parmi les fonctions bornées (et les fonctions usuelles !!) il y a par exemple ... ?
Donc forcément x/y+y/x=2
Si et seulement si x=y
oui merci !!
en fait je viens de voir que c'est "pour tout x il existe un y ..."
cela peut-il servir ? ...
si f(x) = kx alors
pour tout x on peut trouver y tel que ...
je subodore que toute fonction (strictement ?) monotone (ou du moins surjective) est solution
EX : soit f croissante (donc f(I) = I) et x fixé
il y a alors deux cas : x f(x) (1) ou f(x) x (2)
supposons (1) par exemple ; alors :
à voir ...
pourtant il me semble que :
avec les hypothèses soit f(x) = kx avec k > 0 donc en particulier f est (strictement) croissante
pour x fixé il suffit de prendre y < 1/(kx)
alors : (avec égalité si y = 1/kx)
donc les fonctions linéaires sont solutions
Avec une fonction linéaire de coefficient k positif, on n'a pas l'unicité de y :
x
f(y) + yf(x) 2
y 2/kx.
salut
J'ai essayé avec des fonction usuelles comme l'identité mais ça ne marche pas
puisqu'on travaille dans I = ]0, +oo[ alors tu peux immédiatement remarquer que :
parmi les fonctions bornées (et les fonctions usuelles !!) il y a par exemple ... ?
Donc forcément x/y+y/x=2
Si et seulement si x=y
J'ai démontré ceci :
Si a
f(b) + bf(a) 2 alors a = b.
On en déduit f(a)
1/a.
Je bloque ensuite.
Bonsoir,
Je corrige la coquille :
si on montre que f(a)strictement inférieure à 1/a est absurde alors f(a)=1/a par suite on obtient f(x) =1/x est l'unique fonction possible
Je vais donner ce soir ou demain mon idée de démonstration pour f(a)
1/a.Pas facile de ne pas détailler.
Il y a peut-être plus simple...
Soit a dans 
+*.
Il existe un unique réel y dans +* tel que
af(y) + yf(a) 2.
On note b ce réel ; on a donc a
f(b) + bf(a) 2 (
) .
Il existe un unique réel y dans +* tel que
bf(y) + yf(b) 2 .
D'après (), bf(a) + af(b) 2, cet unique réel est donc égal à a.
D'où
af(b)+bf(a) 2 et si y
a alors
y
f(b)+bf(y) > 2 (
),
et aussi si y b alors
a
f(y)+yf(a) > 2 (
).
On suppose ab
D'après (), on a a
f(a)+af(a) > 2 .
D'après (), on a b
f(b)+bf(b) > 2 .
D'où f(a) > 1/a
et
f(b) > 1/b .
Mais alors a
f(b) + bf(a) > a/b + b/a 
2 .
Petite contradiction ; donc a = b .
a = b dans () donne f(a) 1/a.
Bon dimanche,
La nuit porte conseil 
si on montre que f(a)strictement inférieure à 1/a est absurde
Pas facile de ne pas détailler.
Il y a peut-être plus simple...
Soit a dans
+*.
Il existe un unique réel y dans
+* tel que
a
f(y) + yf(a) 2.
On note b ce réel ; on a donc
f(b) + bf(a) 2 ) .
Il existe un unique réel y dans
+* tel que
b
f(y) + yf(b) 2 .
D'après (
), bf(a) + af(b) 2, cet unique réel est donc égal à a.
D'où
a
f(b)+bf(a) 2 et si y a f(b)+bf(y) > 2 ),
et aussi si y
b f(y)+yf(a) > 2 ).
On suppose a
b
D'après (
), on a f(a)+af(a) > 2 .
D'après (
), on a f(b)+bf(b) > 2 .
D'où
Mais alors
f(b) + bf(a) > a/b + b/a 2 .
Petite contradiction ; donc
a = b dans (
) donne f(a) 1/a.Supposons f(a)>1/a
Et f( b )>1/b alors
bf(a)+af(b)>b/a+a/b>ou égal à 2 ce qui est absurde
Tu sembles ne démontrer que ceci :
f(a) a ou
f(b)
b .
P.S. Pour écrire
ou
:
On peut utiliser le bouton
sous la zone de saisie. Il donne accès à des symboles mathématiques.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Sylvieg : ha oui bien vu :
on applique l'hypothèse en "fixant" x puis en "fixant" y
et par symétrie du premier membre "xf(y) + yf(x) l'unique réel associé à x est y et l'unique réel associé à y est donc x !!
ensuite si x y ben on a 2xf(x) > 2 <=> f(x) > 1/x
qu'on réinjecte dans l'inégalité de départ pour aboutir à une contradiction !!
Oui, les lettres x et y me dérangeaient. D'où mes a et b.
Et on peut remplacer 2 par k réel strictement positif.
J'envisage de le poser dans détente pour voir si quelqu'un trouve une démonstration plus simple.
@carpediem,
Ton message de 10h01 pour démontrer x = y est moins long et tout aussi clair que le mien, voire plus.
oui ... à précéder cependant peut-être du quantificateur :
pour tout x : si y x alors ... donc f(x) > 1/x
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