Bonjour PLSVU,
C'est GE = EF au départ ?
Et pourquoi dire "ABCD est un parallélogramme" au lieu de "ABCD n'est pas un rectangle" ?

Que devient la condition (EG) et (BD) perpendiculaires dans tes constructions ?

Bonjour [b]Sylvieg[/b ]

Merci PLSVU pour tes réponses.
Essaye de faire "Aperçu" avant de poster
Je suppose que tu ne cherchais pas à blanker.
Veux-tu que je rectifie ?

Autre chose :

dpi @ 13-03-2025 à 07:53

Je savais bien qu'il fallait partir du cercle de centre E et de diamètre GF

Le même ancien de l'île, pointu en géométrie (mais pas que), m'a communiqué une démonstration "pas trop compliquée".
Pas de cercle
Le point de départ est d'utiliser la parallèle à (AC) issue de G.

Rappel de ma dernière figure :



Si pas de réaction avant ce soir, je posterais d'autres indications.

PS Certains pourraient critiquer en considérant qu'une similitude, bien que simple, est utilisée.

Je suis sur une autre piste mais je suivrais d'un œil

Imod

@Imod,
Je ne crois pas que tu puisses trouver beaucoup plus simple

  
  Bonjour  Sylvieg
Oui  tu peux rectifier
je justifie le terme parallélogramme lorsque  le point B n'appartenant pas au cercle   ABCD  l'angle  GBF≠π/2   suivant la  construction choisi pour le point D
  (BC)//(AD)et (AB)//CD
ou
ou O milieu de [ AC}  ,puis symétrique de D  et B par rapport O  par suite   le quadrilatère  ABCD   a
soit les cotés parallèles  deux à deux , soit deux vecteurs égaux  soit  les diagonales qui se coupent en leur milieu
on en déduit que ABCD est un parallélogramme
  je vérifie si (DB)est perpendiculaire à (EG) en H
Dans le cas ou B appartient au cercle de diamètre  GF  de centre E
angle au centre GEB=2 angle inscrit GFB
le triangle EBF isocèle en E  les angles EFB et EBF sont égaux
le triangle CBD rectangle en C :
les angles DCE et ECB sont complémentaires
le triangle ECB rectangle en E
les angles ECB et EBC sont complémentaires d'où
d'où angle EBC=angle DCE=EBF=EFB=GFB
le triangle ECB rectangle en E  angle ECB=π/2-EBF=π/2- angle GFB
le riangle EGB isocèle en E  π= angle GEB+2*angleEGB   d' où angle EGB=π/2-angle GFB
(DC)//(AB)  sécante (DB) les angles CDB et DBA sont alternes sont égaux d'où angle HBG=angleGFB
triangle HBG
Angle GHB=π-(angle HBG+angle EGB)=π-(angle GFB+π/2-angle GFB)=π/2   donc
(EH ) et (DB ) sont perpendiculaires
le triangle EFB est rectangle en H donc H appartient au cercle de diamètre EB

Je te fais confiance mais je garde mon idée sous le coude

Si tu pouvais nous laisser un peu de temps avant de donner plus d'indications , disons jusqu'à la fin du week-end

Imod

D'accord Imod
Et même plus longtemps si tu veux.

@PLSVU,
Franchement, je ne comprends pas tes démarches.

BonjourSylvieg
1°construction du rectangle ABCD
A)  pointE  cercle de rayon EG ==> diamètre [GF] et EB=EF  vérifée
  B un point du cercle voir figure  demi droite [BG) ,demi droite [BF)
segment [BE]  
∆ perpendiculaire à [EB] coupe [BG]  en A  et [BF) en C
O milieu de [AC]  D symétrique de B par rapport à O
∆  coupe [AC] en H  
2) je vérifie ...
Dans le cas ou B appartient au cercle de diamètre  GF  de centre E
angle au centre GEB=2 angle inscrit GFB
le triangle EBF isocèle en E  les angles EFB et EBF sont égaux
le triangle CBD rectangle en C :
les angles DCE et ECB sont complémentaires
le triangle ECB rectangle en E
les angles ECB et EBC sont complémentaires d'où
d'où angle EBC=angle DCE=EBF=EFB=GFB
le triangle ECB rectangle en E  angle ECB=π/2-EBF=π/2- angle GFB
le riangle EGB isocèle en E  π= angle GEB+2*angleEGB   d' où angle EGB=π/2-angle GFB
(DC)//(AB)  sécante (DB) les angles CDB et DBA sont alternes sont égaux d'où angle HBG=angleGFB
triangle HBG
Angle GHB=π-(angle HBG+angle EGB)=π-(angle GFB+π/2-angle GFB)=π/2   donc
(EH ) et (DB ) sont perpendiculaires
le triangle EHB est rectangle en H donc H appartient au cercle de diamètre EB  (voir cercle rouge)
  

Bonjour,
Il s'agit de démontrer ceci :
Si E est le milieu de [GF] alors le parallélogramme ABCD est un rectangle.

Un autre point de départ possible :
Utiliser l'orthocentre du triangle BEG.
Et encore une figure :

L'orthocentre apparait dès qu'on trace la parallèle après il faut voir ce qu'il faut en faire

Imod

Sur la figure ci-dessous, le point N est l'orthocentre du triangle BEG.
Il faut en faire quelque chose sur [GP].

@Imod,
As-tu trouvé ce qu'on pouvait faire de l'orthocentre ?

Absolument pas , j'ai construit son symétrique par rapport à O mais ça n'a pas donné grand chose . J'ai aussi construit un rectangle de diamètre [FG] et de médiane (OE) mais sans aboutir à quoi que ce soit : je n'entrevois pas le début d'une solution

Imod

Les droites (GP) et (AC) sont parallèles.
O est le milieu de [AC] ; donc N est le milieu de [GP].

Si E est le milieu de [GF] alors il y a un segment des milieux dans le triangle FGP.

En effet et comme (EN) est perpendiculaire à (GB) , il y a un angle droit en B . J'avais bien vu N au milieu de [GP] mais je ne savais pas quoi en faire .

Un vrai casse-tête cet exercice

Imod

Bonsoir ,
réponse en image

En fait cette nouvelle démonstration a un énorme avantage , elle montre comment l'exercice a été construit c'est à dire à l'envers .



On part d'un triangle EGH rectangle en H et on fait varier le point N sur [EH] . On peut construire les points F et B et à partir de là l'ensemble de la figure en finissant par le point D . Si le point P symétrique de G par rapport à N n'est pas aligné avec B et F alors (BD) ne passe pas par N et n'est donc pas perpendiculaire à (EF) . Après quand on fait monter le point N , le point B par vers la droite et le point P se déplace sur la parallèle à (EH) passant par F : l'alignement ne se produit qu'une fois lorsque (BF) est parallèle à (EH) .

Imod

Bonjour Imod,

Citation :
Un vrai casse-tête cet exercice

Message croisé
Oui, l'exercice n'a pas tout dit.
Par exemple, le même orthocentre permet de démontrer la partie directe.
Je vais tenter de rédiger une démonstration pour "ABCD est un rectangle si et seulement si EF=EG ".

La difficulté de l'exercice est dans son montage , quand on construit la figure à partir du triangle EGH , le parallélogramme n'apparait qu'à la fin alors qu'il est donné d'emblée dans l'exercice . De même la hauteur [EH] est malicieusement oubliée .

Imod

Avec la même figure que le 17 à 17h22 :



L'orthocentre N du triangle BEG est le milieu de [GP].
Dans le triangle FGP, le point E est le milieu de [GF] si et seulement si (NE) (PF).
Équivalent à (NE) (BC) car (PF) = (BC).
Or (NE) (BA).
D'où : E milieu de [GF] équivalent à (BC) (BA)

Oui , la partie directe n'était pas trop difficile

Sans doute un exercice qui sort d'un vieux manuel , les élèves de cette époque avait un œil habitué à repérer certaines configurations .

Imod