Bonjour,

Intéressante propriété

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Soit le rayon du cercle, , et .

On cherche .
On a (hauteur d'un triangle rectangle) et .
Par remplacement de ,

L'aire du rectangle est donc la moitié de l'aire du carré dont le côté est AF.
Je me demande s'il n'y aurait pas moyen de trouver une démonstration géométrique

Deux réponses et deux démonstrations différentes.
Avec la mienne, ça en fait trois
Que veux-tu dire par "démonstration géométrique" LittleFox ?
La tienne ne l'est pas ?

Bonjour,

je note A' le point diamétralement opposé à A. L'aire de ABCD vaut et on a :

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(car les triangles ADF et AFA' sont semblables)

J'avais tourné ABCD dans le mauvais sens, l'aire de ABCD vaut .

Je voudrais visuellement diviser le carré AF² et/ou le rectangle ABCD en morceaux (triangulaires?) et montrer en déplaçant les morceaux que AF² = 2 ABCD.

Un peu comme ici:

Et même chose dans la formule blanquée, il faut remplacer D par B.

Bonjour



dans la dissection ci dessus du rectangle ABCD en le rectangle AFHK, les triangles ADI et EAF sont semblables
donc AD/EA = DI/AF

si par construction AD = 1/2 AE alors DI = 1/2 AF
CQFD.

Bonjour

Moi je verrais ça comme ça : E le point diamétralement opposé à A . Les triangles AFE et ABF sont semblables et D/6=6/L avec D le diamètre du cercle et L la longueur du rectangle .

Imod

on peut le voir de différentes façons, c'est juste une façon différente de présenter la même chose que ce qu'a dit jandri à à 16:23 et ce que j'ai dit à 17:01

Je ne prétendais pas proposer une solution originale , juste un point de vue

Imod

Bonjour,
En cherchant avec la variable EF je résous mon problème pour EF=12  .

Le calcul (pardon):
Je disais variable au lieu de inconnue:
Soit E l'autre extrémité du diamètre a AE
EF²+6²=(2EF)² --->EF = 23
et AE =43
puis  propriété de la hauteur du triangle rectangle EFB
AB/6=6/43-->AB=9/3
aire ABCD= 23 x(9 /3)=18

Tracer le point F
intersection du cercle de centre A de rayon 6 et du
demi cercle de diamètre AE

Bonjour,
@dpi,
La longueur EF est variable :


A tous,
Bravo pour vos réponses.
C'est celle d'Imod à 17h38 qui ressemble le plus à la mienne

Oui Sylvieg,
J' ai en fait traité un cas particulier...

C'est la même démonstration que celle de jandri, mais en un seul message
Jaime bien celle decandide2 car elle n'utilise que Pythagore, donc abordable tôt par des collégiens.

"C'est la même démonstration" = celle d'Imod à 17h38

@Sylvieg
Voilà la démo de mathafou est une démo géométrique comme je cherchais
Il reste juste la preuve que DI  = AF/2 qui n'est pas encore tout à fait purement géométrique

bein si, triangles semblables ai-je dit (ainsi que jandri d'ailleurs)

ou alors tu considères qu'une démonstration "géométrique" comme tu l'espères est en fait une démonstration purement "avec les mains" sans utiliser aucun raisonnement géométrique ?

A noter que la formule reste vraie quand le point F est sur la partie droite du demi cercle :

Une démonstration visuelle, juste la(les) figure(s), sans calcul

ça n'existe pas.
toute "démonstration visuelle" alias "preuve sans mots" s'appuie en fait sur des non dits qui devraient être parfaitement justifiés
Ne serait ce que pour prouver que les morceaux s'assemblent réellement comme ils le font.
Que ce soit dans les "preuves" de Pythagore ou ici.
ces non dits dépendent de chacun , ce que certains trouvent "évident, pas besoin de le dire" d'autres exigent une preuve explicite donc avec des mots .., voire des "calculs" très simples, mais équations et calculs algébriques exclus.

pour rester encore un peu dans le problème d'origine :
"quand le point F est sur la partie droite du demi cercle"
la preuve par dissection marche encore :



(noms de points légèrement différents)

Et si on séparait en deux ce sujet ?
On peut créer un nouveau sujet avec le message de 14h16 complété par un lien vers ici. Puis y transférer les messages de 15h20 et 15h33.

100% d'accord
je sais que malou sait faire ça, pour ma part je n'ai jamais essayé une telle manip.

le bouton "dupliquer vers un nouveau topic" n'est actif que sur le premier message d'une discussion, pas sur un message intermédiaire.

Je tente avec "Déplacer ce message"

Avec l'option " 3.ou déplacez en tant que nouveau message "
Il faut faire attention que les messages transférés conservent l'heure où ils ont été posté.
Si on crée auparavant un nouveau sujet avec un message d'introduction, il se mettra à la fin lorsque l'on y transfère classiquement des messages postés avant.

Ça a marché : Trois carrés et demi cercle.

Bonjour ,
Le carré  construit à partir de la diagonale [AF]  a  pour aire  18
comme mathafou   fait de superbes  découpages . pourquoi pas  le recouvrir.

*** message déplacé ***

on peut toujours , mais ce ne sera pas "'in situ", AF restant à sa place : il doit être déplacé



et du coup pourquoi dans cette dissection AK (ou GH) serait il égal à AF ?? (car construit de toute autre façon)

à moins d'avoir prouvé au préalable par une autre méthode indépendante que les aires sont effectivement égales.

une construction in situ (AF restant là où il est) serait très compliquée avec des "tout petits bouts" et très certainement très dfificile à interpréter.

Bonjour,
La proposition de Sylvieg de mette F plus à droite rend le dessin
plus visible:

AD=R    AE=2R  AF=6
6/2R=AB/6--->AB=36/2R
Aire du rectangle  ABCD  =  R( 36/2R ) =18

En fait, ce qui rend "plus visible", c'est de tracer le segment EF

Je ne fais pas d'aussi beau découpages que mathafou mais voici mon essai

(Basé sur la discussion qui a été déplacée.)



L'idée est de montrer 2|ABCD| = |AF|².
On part du carré de côté AF. On déplace le triangle bleu de droite à gauche. Puis le triangle orange de haut en bas. On plie en deux le long de CD. Et on obtient ABCD.

Pas mal

Il s'ensuit une démonstration utilisant l'aire d'un parallélogramme :

A' et F" sont les images de E et F par le quart de tour indirect de centre A.
F' est le 4ème sommet du parallélogramme A'AF'F.
L'aire de ce parallélogramme est d'une part AA'CD = 2ADAB.
Et, d'autre part, AFAF'' = AF².
D'où ADAB = AF²/2.

pourquoi F', A' et F'' sont ils alignés (alias pourquoi F" est-il ici le point défini par la dissection précédente, alias pourquoi dans cette dissection a-t-on les relations prétendues vraies par une simple observation ) ?

en bref, justifier la "preuve" par dissection est plus compliqué que directement sans rien ajouter (sauf FE) par les triangles semblables ou la feue relation métrique dans le triangle rectangle AEF.

je persiste à affirmer que les dissections sont justes des illustrations, et pas des preuves.

Bonjour mathafou,
Pour ce qui est de ma figure, les points F', A' et F'' sont alignés car les droites (A'F'') et (A'F') sont parallèles à la droite (AF).

oui OK, j'avais mal lu les définitions de A' et F'.