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Récurrence et partie entière

Posté par
Nijiro 17-10-19 à 21:23

Bonjour,
Montrer par récurrence que:
\sum_{k=1}^{n^2}{[\sqrt{k}]}=\frac{n(4n^2 - 3n+5)}{6} : P(n)

A l'étape d'hérédité,  je prends  n2 * fixé ou n*fixé et je montre que P(n2+1) est vraie ou P((n+1)2)?
Merci d'avance.

Posté par
perroquetre : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 21:41

Bonjour, Nijiro.

A l'étape d'hérédité, tu prends n\in\mathbb N^{\star} fixé et tu démontres que P(n+1) est vraie, cette propriété étant:
\sum_{k=1}^{(n+1)^2} [\sqrt{k}]= \dfrac{(n+1)[4(n+1)^2-3(n+1)+5]}{6}

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 21:47

donc que sera l'hypothèse de récurrence?

Posté par
perroquetre : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 22:23

Tu l'as écrite toi-même:    

@Nijiro à 21h23


\sum_{k=1}^{n^2}{[\sqrt{k}]}=\frac{n(4n^2 - 3n+5)}{6} : P(n)

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 22:28

oui, mais comment l'introduire dans la démonstration?
on a :
\sum_{k=1}^{(n+1)^2}{[\sqrt{k}]}= \sum_{k=1}^{n^2}{[\sqrt{k}]} + ?

Posté par
perroquetre : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 22:47

\sum_{k=1}^{(n+1)^2}{[\sqrt{k}]}= \sum_{k=1}^{n^2}{[\sqrt{k}]} + \sum_{k=n^2+1}^{n^2+2n}{[\sqrt{k}]} +\sum_{k=(n+1)^2}^{(n+1)^2}{[\sqrt{k}]}

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 17-10-19 à 23:14

je remplace \sum_{k=1}^{n^2}{[\sqrt{k}]} par : \frac{n(4n^2-3n+5)}{6}

et \sum_{k=(n+1)^2}^{(n+1)^2}{[\sqrt{k}]} par: [\sqrt{(n+1)^2}]=n+1

et \sum_{k=n^2+1}^{n^2+2n}{[\sqrt{k}]} par: \frac{\sqrt{n^2+2n} (4(n^2+2n)-3(\sqrt{n^2+2n})+5)}{6}? ou:\frac{n(4(n^2+2n)-3n+5)}{6}?

Posté par
perroquetre : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 02:45

Les deux premières sommes :  OK.

Par contre, c'est non pour la troisième somme. L'idée est de montrer que la partie entière de \sqrt k est égale à n lorsque k est compris entre n^2+1 et n^2+2n.

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 17:43

J'ai essayé de le démontrer, mais je ne sais pas d'où commencer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 18:43

Bonjour,
Tu écris d'abord \; n2+1 k n2+2n .
Puis tu passes aux racines carrées.
Et tu utilises \; n2 n2+1 \; à gauche.
A droite, je te laisse chercher un peu.

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 19:57

On a:
n2+2n-1n2+2nn2+2n+1
J'ai essayé de démonter que la partie entière de \sqrt{n^2+2n-1}=n mais sans résultat.

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 20:01

Peut-on dire que [\sqrt {(n+1)^2}]=n+1 alors [\sqrt {(n+1)^2-1}]=n+1-1?

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 20:03

Nijiro @ 18-10-2019 à 20:01

Peut-on dire que [\sqrt {(n+1)^2}]=n+1 alors [\sqrt {(n+1)^2-1}]=n+1-1?

[\sqrt {(n+1)^2-1}]=n+1-1

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 20:03

On ne peut pas n'est-ce pas?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 21:03

Tu essayes d'utiliser
n2+2n-1 n2+2n n2+2n+1
Alors qu'il suffit d'utiliser
n2 n2+2n n2+2n+1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 21:11

Je reprends à partir du message de perroquet :

Citation :
L'idée est de montrer que la partie entière de \sqrt k est égale à n lorsque k est compris entre n^2+1 et n^2+2n.

n2+1 k n2+2n \; ;
donc \; n2 n2+1 k n2+2n < n2+2n+1 .
A partir de là , tu trouves (n2) k < (n2+2n+1) .

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 18-10-19 à 23:09

Oui, j'ai compris, donc il me faut déterminer combien de fois [\sqrt {k}]=n quand n^2+1\leq k\leq n^2+2n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 19-10-19 à 10:37

Combien d'entiers sont écrits dans \; 1, 2, 3, 4, ...., 2019 \; ?
Et dans \; 11, 12, 13, 14, ...., 2029 \; ?

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 19-10-19 à 14:05

Oui, j'ai compris donc c'est 2n fois dans mon exercice

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 19-10-19 à 14:29

D'accord !

Posté par
Nijirore : Récurrence et partie entière 20-10-19 à 14:17

Je m'excuse, je travaillais hier sur un exposé c'est pour cela que je n'ai pas répondu. Donc c'est fait! Merci beaucoup 😊

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence et partie entière 20-10-19 à 14:30

De rien \;


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