Niveau première

regle du parallelogramme et produit scalaire

Posté par
hcen009 15-10-11 à 21:25

Bonsoir
j'ai besoin de votre aide s'il vous plait
1. a. Montrer en utilisant la règle du parallélogramme que

|| $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ||²-|| $\vec{u}$ - $\vec{v}$ ||²=4( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ).

b. utiliser la règle du parallélogramme pour montrer que:
8( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ )= 2(|| $\vec{v}$ + $\vec{u}$ ||²+|| $\vec{w}$ + $\vec{u}$ ||²)-2(|| $\vec{v}$ - $\vec{u}$ ||²+|| $\vec{w}$ - $\vec{u}$ ||²

2)utiliser la règle du parallélogramme pour montrer que:
8( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ )=(|| $\vec{v}$ + $\vec{w}$ +2 $\vec{u}$ ||²+|| $\vec{v}$ - $\vec{w}$ ||²)-(|| $\vec{v}$ + $\vec{w}$ -2 $\vec{u}$ ||²+||
$\vec{v}$ - $\vec{w}$ ||²)

3. en déduire que u.(v+w) = u.v + u.w (en vecteur)

mon travail
pour la question 1. j'ai fais:
on sait que :
|| $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ||²=|| $\vec{u}$ ||²+|| $\vec{v}$ ||²+2( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ).(1)

|| $\vec{u}$ - $\vec{v}$ ||²=|| $\vec{u}$ ||²+|| $\vec{v}$ ||²-2( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ).(2)
en soustrayant (1)et (2) on obtient

|| $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ||²-|| $\vec{u}$ - $\vec{v}$ ||²=4( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ).
b.d'apres 1.a.
|| $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ||²-|| $\vec{u}$ - $\vec{v}$ ||²=4( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ).

|| $\vec{u}$ + $\vec{w}$ ||²-|| $\vec{u}$ - $\vec{w}$ ||²=4( $\vec{u}$ . $\vec{w}$ ).
en multipliant par 2 et en additionnant les 2 égalites on obtient le resultat

pour la question 2) je ne sais pas comment faire c'est compliqué. et comment en déduire que u.(v+w) = u.v + u.w ?

merci beaucoup d'avance

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 15-10-11 à 21:32

c'est très bien, mais c'est quoi, pour toi, la règle du parallélogramme ?

parce que ton exercice te demande de montrer une relation ( u(v+w) = uv+uw )à partir d'une autre relation et celle que tu utilises ( (u+v)²=u²+2uv+v² ) est une conséquence de celle que tu dois démontrer, alors ça se mord un peu la queue...

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 15-10-11 à 21:40

Bonsoir dhalte
oui le but de l'exercice et de montrer la relation
u.(v+w) = u.v + u.w
mais je ne comprends pas comment montrer la question 2

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 15-10-11 à 21:54

et tu n'as pas répondu à ma question.

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire Posté le 15-10 15-10-11 à 22:15

on a vu dans le cours produit scalaire et identités remarquables
(u+v)²=u²+2uv+v²
(u-v)²=u²-2uv+v²
(u+v)²-(u-v)²=4u.v
(u+v)²+(u-v)²=2u²+2v²
je crois la règle du parallélogramme c'est l'une des relations ci-dessus

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 16-10-11 à 01:00

l'exercice qui t'est demandé est très théorique, et je ne suis pas certain qu'il te soit très profitable.

la règle du parallélogramme s'énonce ainsi :
dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des cotés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.

Cette propriété est caractéristique des parallélogrammes, à savoir que si un quadrilatère la vérifie, alors c'est un parallélogramme.

Maintenant, quand on veut traduire cela en termes de vecteurs, on rappelle d'abord quelques propriétés
Soient A et B deux points et $\vec u=\vec{AB}$ , alors le carré de la distance AB est aussi le carré de la norme du vecteur $\vec u$
$||\vec u||^2=AB^2$

si ABCD est un parallélogramme, alors soit
$\vec u=\vec{AB} \\ \vec v = \vec{AD}$
$\vec u+\vec v = \vec{AC}$ est la première diagonale
$\vec u-\vec v = \vec{DB}$ est la seconde diagonale
$2||\vec u||^2+2||\vec v||^2$ est la somme des carrés des longueurs des cotés
$||\vec u+\vec v||^2+||\vec u-\vec v||^2$ est la somme des carrés des longueurs des diagonales

donc la règle du parallélogramme devient, en termes de vecteurs
$2||\vec u||^2+2||\vec v||^2=||\vec u+\vec v||^2+||\vec u-\vec v||^2$

toi, tu pars d'une toute autre relation, à savoir
$||\vec u+\vec v||^2 = ||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v$
et en changeant $\vec v$ en $-\vec v$ (et en admettant la symétrie du produit scalaire)
$||\vec u-\vec v||^2 = ||\vec u||^2+||\vec v||^2-2\vec u.\vec v$

donc déjà ces deux dernières relations ne sont pas directement l'expression de la règle du parallélogramme couramment admise en géométrie élémentaire.

mais admettons

alors tu as montré que
$||\vec u+\vec v||^2 - ||\vec u-\vec v||^2 = 4\vec u.\vec v$

à partir de là, l'exercice veut te faire établir une relation dite de linéarité vérifiée par le produit scalaire, à savoir $\vec u.(\vec v+\vec w) = \vec u.\vec v + \vec u.\vec w$

Evidemment, on doit s'interdire toute utilisation d'une règle avancée qui en fait serait une conséquence de celle qu'on veut montrer. D'où la complexité des manipulations qui vont suivre.

à partir de l'expression ci-dessous, on va établir de nouvelles relations :
$||2\vec u+(\vec v+\vec w)||^2 - ||2\vec u-(\vec v+\vec w)||^2$

on utilise la relation déjà vue :
$||\vec u+\vec v||^2 - ||\vec u-\vec v||^2 = 4\vec u.\vec v$
où on remplace $\vec u$ par $2\vec u$ et $\vec v$ par $\vec v+\vec w$

donc
$||2\vec u+(\vec v+\vec w)||^2 - ||2\vec u-(\vec v+\vec w)||^2 = 4\times(2\vec u).(\vec v+\vec w)$

c'est une simple manipulation de substitution.

et une règle non dite : la linéarité par rapport au scalaire, à savoir la relation $4\times(2\vec u)=8\vec u$

ce qui permet d'établir que
$||2\vec u+(\vec v+\vec w)||^2 - ||2\vec u-(\vec v+\vec w)||^2 = 8\vec u.(\vec v+\vec w)$

la seconde manipulation est plus exotique, il va falloir s'accrocher
on va écrire cela
$||2\vec u+(\vec v+\vec w)||^2=||(\vec u+\vec v)+(\vec u+\vec w)||^2$
$||2\vec u-(\vec v+\vec w)||^2=||(\vec u-\vec v)+(\vec u-\vec w)||^2$
et on développe laborieusement les deux expressions à l'aide de la relation $||\vec u+\vec v||^2 = ||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v$

$||(\vec u+\vec v)+(\vec u+\vec w)||^2=||\vec u+\vec v||^2+||\vec u+\vec w||^2+2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)$
$||(\vec u-\vec v)+(\vec u-\vec w)||^2=||\vec u-\vec v||^2+||\vec u-\vec w||^2+2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$

et on continue le développement
$||(\vec u+\vec v)+(\vec u+\vec w)||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v+||\vec u||^2+||\vec w||^2+2\vec u.\vec w+2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)$
$||(\vec u-\vec v)+(\vec u-\vec w)||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2-2\vec u.\vec v+||\vec u||^2+||\vec w||^2-2\vec u.\vec w+2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$

et on soustrait les deux expressions, ce qui fait disparaître quelques termes
$||(\vec u+\vec v)+(\vec u+\vec w)||^2-||(\vec u-\vec v)+(\vec u-\vec w)||^2=4\vec u.\vec v+4\vec u.\vec w+2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$

donc jusque là, on a établi que :
$8\vec u.(\vec v+\vec w)=4\vec u.\vec v+4\vec u.\vec w+2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$

or nous avons, grâce à la relation $||\vec u+\vec v||^2 - ||\vec u-\vec v||^2 = 4\vec u.\vec v$ , les relations suivantes :
$4(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w) = ||(\vec u+\vec v)+(\vec u+\vec w)||^2 - ||(\vec u+\vec v)-(\vec u+\vec w)||^2$
simplifions
$4(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w) = ||2\vec u+\vec v + \vec w||^2 - ||\vec v-\vec w||^2$

de la même manière
$4(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w) = ||2\vec u-(\vec v + \vec w)||^2 - ||-(\vec v-\vec w)||^2$

avec encore une règle non dite : $||-v||=||\vec v||$

$4(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w) = ||2\vec u-(\vec v + \vec w)||^2 - ||\vec v-\vec w||^2$

donc la quantité précédente $2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$ devient
$2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)=\frac12(||2\vec u+\vec v + \vec w||^2-||2\vec u-(\vec v + \vec w)||^2)$

c'est à dire
$2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)=\frac12(8\vec u.(\vec v+\vec w))=4\vec u.(\vec v+\vec w)$

alors on revient à
$8\vec u.(\vec v+\vec w)=4\vec u.\vec v+4\vec u.\vec w+2(\vec u+\vec v).(\vec u+\vec w)-2(\vec u-\vec v).(\vec u-\vec w)$

qui devient
$8\vec u.(\vec v+\vec w)=4\vec u.\vec v+4\vec u.\vec w+4\vec u.(\vec v+\vec w)$

ce qui se simplifie en
$\vec u.(\vec v+\vec w)=\vec u.\vec v+\vec u.\vec w$

ouais... on a vu exercices moins abscons pour une classe de première.

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 16-10-11 à 01:40

Bravo dhalte tu as bien expliqué l'exercice difficile ,merci j'ai bien compris

Posté par re : regle du parallelogramme et produit scalaire 16-10-11 à 07:40

dernier raffinement

donc la règle du parallélogramme devient, en termes de vecteurs
$2||\vec u||^2+2||\vec v||^2=||\vec u+\vec v||^2+||\vec u-\vec v||^2$

toi, tu pars d'une toute autre relation, à savoir
$||\vec u+\vec v||^2 = ||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v$

la relation entre les deux : le théorème d'Al-Kashi
dans tout triangle ABC de trois points distincts, tel que AB=c, BC=a, CA=b, $\theta=\widehat{BAC}$
on a $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\theta)$
regle du parallelogramme et produit scalaire
or le produit scalaire tel que présenté en lycée est défini par
$\vec u.\vec v = ||\vec u||\times||\vec v||\times\cos(\widehat{\vec u,\vec v})$

si on pose
$\vec u=\vec{AB} \\ \vec v=\vec{AC}$

alors on a $\vec u-\vec v=\vec{CB}$ et donc $||\vec u-\vec v||^2=||\vec{CB}||^2=a^2$
et $\widehat{BAC} = \widehat{\vec u,\vec v}$

et $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\theta)$ devient
$||\vec u-\vec v||^2=||\vec v||^2+||\vec u||^2-2||\vec v||\times||\vec u||\times\frac{\vec u.\vec v}{||\vec u||\times||\vec v||}$

et après simplification on obtient
$||\vec u-\vec v||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2-2\vec u.\vec v$

En considérant C' symétrique de C par rapport à A, on a
$\vec{AC'}=-\vec{AC}=-\vec v$
$\vec{C'B}=\vec u+\vec v$
$\widehat{BAC'}=\pi-\theta$

et dans le triangle ABC' la relation
$C'B^2=b^2+c^2-2bc\cos(\pi-\theta)=b^2+c^2+2bc\cos(\theta)$

ce qui se traduit en termes de vecteurs par :
$||\vec u+\vec v||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v$
regle du parallelogramme et produit scalaire

et donc en faisant la somme de ces deux relations
$||\vec u-\vec v||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2-2\vec u.\vec v$
$||\vec u+\vec v||^2=||\vec u||^2+||\vec v||^2+2\vec u.\vec v$

on obtient celle de la règle du parallélogramme
$||\vec u+\vec v||^2+||\vec u-\vec v||^2 = 2||\vec u||^2+2||\vec v||^2$

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