Bonjour,
j'aurais besoin d'une toute petite indication pour que je puisse me lancer et réussir a démontrer que, pour 3 réels strictement positifs a, b et c, on a (a+b)(a+c)(b+c) > ou = 8abc
J'ai posé a<b<c<0 (J'ai conscience qu'en plus, c'est terriblement simple......)
Et je voudrais aussi savoir, avec 3 réels a, b et c compris entre 0 et 1 strictement, pour démontrer que (1/a)+(1/b)+(1/c)+abc < ou = a+b+c+(1/abc)
j'ai dit que, comme ils sont entre 0 et 1, (1/abc) > 1/a +1/b + 1/c et abc <a+b+c, l'égalité est vérifiée.
Est-ce que ca suffit ?
Merci beaucoup
bonsoir.
permettez moi de vous aider.
pour montrer que (a+b)(a+c)(b+c) > ou = 8abc pour a,b et c >0
on va d'abord montrer le résultat intermédiaire suivant:
a+b >=2rc(ab); avecle m^me hypothèses pour a et b.
rc() d'signe la racine carré.
vous savez que (a-b)²>=0
donc a²+b²-2ab>=0
donc a²+b²-2ab -2ab+2ab>=0 ; en ajoutant et retranchant 2ab.
donc (a+b)²-4ab>=0
donc (a+b)²>=4ab ;
comme a et b sont strictment postifs on peut prendre la racine carré des
deux membres sans changer de sens car la fonction racine carré est
strictement croissante sur R+.
donc a+b>=2rc(ab)
c'est le résultat intérmédiaire que j'ai voulu montré.
on peut l'utiliser pour a,b et c qui sont tous strictement positifs
et l'on a:
a+b>=2rc(ab)
a+c>=2rc(ac)
b+c>=2rc(bc)
on a alors:
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)(a+c)(b+c) (A)
; en multipliant les membres de première inégalité par (a+c)(b+c)
qui positif.
ensuite :
(a+c)(b+c)>=2rc(ac)(b+c) (B)
; en multipliant les membres de deuxième inégalité par (b+c) qui positif.
en multipliant (B) par 2rc(ab) qui est positif on obtient:
2rc(ab)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
et en reportant dans (A) ob obtient:
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)(a+c)(b+c)
>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
donc
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c) (C)
comme :
b+c>=2rc(bc) en multipliant les deux membres de cette inégalité
par 2rc(ab)*2rc(ac) qui est positif on obtient:
2rc(ab)*2rc(ac)(b+c) >= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)
en repoertant dans (C) on obtient:
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
>= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)
donc :
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
>= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)
maintenant calculons :
2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc) =8rc(abacbc)=8rc(a²b²c²)=8abc
donc finalement:
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc pour tout a,b etc >0.
remarquez qu'à aucun moment je n'ai supposé que 0 < a < b < c comme
vous avez assayé.
voila j'espère que j'ai répondu à votre question.
bonsoir et bon courage.
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