bonjour : )

pour les calculs, il y a quelques explications ici : démonstration par récurrence

Oulala j'ai lu le début mais je me suis perdu ^^

J'ai lu ton sujet, mais je trouve que c'est un peux le cirque, je me suis vraiment perdu, après c'est surtout parce que c'est écris autrement qu'en cours.
Comme on ne peut pas modifier son message j'aimerais surtout savoir comment passser de : 4n-2(n+1) = 4n-2n-2
                                                                                                   = 2(n+1) > 0 car n >ou= 3
                                                                                         2 (puissance n+1) > 2(n+1) et Pn+1 est vraie
Car franchement dans tous mes exemple j'ai le même problème, à un moment je bloque car je ne sai pas comment on arriver à la ligne suivante.
Merci d'avance.

                                                                        

On souhaite démontrer par récurrence pour tout n >= 3 : 2^n > 2n

1ère étape : initialisation
Il s'agit ici de montrer qu'au tout premier rang (n₀ = 3) la proposition est vraie.
(Peut-être aimerais-tu savoir pourquoi cette étape est cruciale ? Il est important de la faire car sans elle on ne peut rien faire...)

On a 2^3 = 8 et 2*3 = 6, comme 2^3 = 8 > 2*3 = 6  P(3) est vraie.

2ème étape : hérédité
Soit n >= 3 fixé. On suppose que P(n) : 2^n > 2n est vraie. Et on souhaite montrer que P(n+1) : 2^(n+1) > 2(n + 1) est vraie.

On a : 2^n > 2n et on souhaite arriver à 2^(n+1) > 2(n + 1).

Une façon d'y arriver, c'est de commencer par faire apparaître le membre de gauche : 2^(n+1).
Puisque 2^(n+1) = 2*2^n, il nous suffit de multiplier notre inégalité de départ par 2 pour que 2^(n+1) apparaisse.
Effectuons la multiplication :
2^n > 2n
2*2^n = 2^(n+1) > 4n


Maintenant, il ne reste plus qu'à travailler sur le membre de droite : 4n, car on ne souhaite pas avoir 4n à droite, on souhaiterait plutôt avoir 2(n + 1).
Une idée pour y parvenir serait d'essayer de montrer que l'on a, pour tout n >= 3 : 4n >= 2(n + 1).

Car si jamais on réussit à montrer que pour tout n >= 3 on a 4n >= 2(n + 1), comme on a déjà 2^(n+1) > 4n, on aura aussi : 2^(n+1) > 4n >= 2(n + 1) et en particulier :
2^(n+1) > 2(n + 1) (qui est ce qu'on veut, P(n+1)).

On est donc parti pour l'étude de l'inégalité, est-ce que pour tout n >= 3 on a bien 4n >= 2(n + 1) ?

4n >= 2(n + 1)
4n >= 2n + 2
2n >= n + 1
n >= 1
Conclusion sur cette inégalité : pour tout n >= 1 on a 4n >= 2(n + 1)
et en particulier, pour tout n >= 3 on a 4n >= 2(n + 1).


Si on reprend l'hérédité :
2^n > 2n
2*2^n = 2^(n+1) > 4n
2^(n+1) > 4n >= 2(n + 1)
2^(n+1) > 2(n + 1) et P(n + 1) est vraie.


3ème étape : conclusion
P(3) est vérifiée et P(n) est héréditaire donc pour tout n >= 3 : 2^n > 2n.

ok ?

Il s'agissait de montrer que 4n > 2(n + 1) pour tout n >= 3 "ou 4n >= 2(n + 1) ça revient au même",
pour le montrer, on résout l'inéquation :

Citation :
4n > 2(n + 1)
4n > 2n + 2
2n > n + 1
n > 1
Conclusion sur cette inégalité : pour tout n > 1 on a 4n > 2(n + 1)
et en particulier, pour tout n >= 3 on a 4n > 2(n + 1).

D'accord ben merci , je pense avoir un peux mieux compris la leçon !
Tu as une version bien plus complète que ma prof ^^.

bonne continuation