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démonstration par récurrence

Posté par
basketball98
06-09-15 à 11:22

Bonjour excusez moi ! , j'ai une démonstration par récurrence a faire et je n'ai pas tout compris pouvez- vous me corriger svp ? merci d'avance


a)
Cette propriété a l'air d'être vraie à partir de
n = 3.
b. Notons P(3) la propriété "2^n>2n" pour tout entier naturel supérieur a 3.
Initialisation :Montrons que Pour n = 3, la propriété P(3)
est vraie.
2^3=8 et 2*3=6 donc 8>6 , donc p(3) est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k fixée , P(k) est vraie
sois que 2^n>2n
montrons que p(k+1) est vrai soit que 2^n+1>2(n+1)
donc 2*2^n>2n+2

après je bloque et je suis pas sur que ça sois juste ..:/

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 11:53

bonjour : )

Citation :
b. Notons P(3) la propriété "2^n>2n" pour tout entier naturel supérieur a 3.
Initialisation :Montrons que Pour n = 3, la propriété P(3)
est vraie.
2^3=8 et 2*3=6 donc 8>6 , donc p(3) est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k fixée , P(k) est vraie
sois que 2^n>2n
montrons que p(k+1) est vrai soit que 2^n+1>2(n+1)
donc 2*2^n>2n+2


J'ai souligné ce qui ne va pas... : )


On note P(n) la propriété 2^n > 2n, avec n 3

Initialisation : 2^3 = 8 > 2*3 = 6, P(3) est vraie.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k 3 fixé, P(k) soit vraie,
on a : 2^k > 2k
Montrons que P(k+1) est vraie soit que 2^(k+1) > 2(k + 1)

On a : 2^k > 2k 2^(k+1) > 4k
Et nous on souhaite arriver à : 2^(k+1) > 2(k + 1)

Etudie donc l'inégalité suivante : 4k > 2(k + 1)

Posté par
basketball98
merci 06-09-15 à 11:56

D'accord , merci beaucoup  pour votre réponse !!

pourquoi arrive t'on à 4k ?

--> 2^(k+1)>2(k+1)
-->2*2^k>2*2k+2

???

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 11:59

on part de : 2^k > 2k
on multiplie l'inégalité par 2 (celle-ci conserve son sens car 2 est positif) donc :
2*2^k > 2*2k   soit   2^(k+1) > 4k

Posté par
basketball98
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:04

mais pourquoi multiplier par 2 ?

--> 2*2^k>4K ????
2^k+1>2*2k

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:13

parce qu'on souhaiterait, à partir de 2^k > 2k

arriver à : 2^(k+1) > 2(k + 1)


une façon d'y arriver, c'est de commencer par faire apparaître le membre de gauche : 2^(k+1)

or 2^(k+1) = 2*2^k, c'est à dire qu'entre 2^(k+1) et 2^k il n'y a qu'un facteur 2, on multiplie donc l'inéquation par 2 et voilà qu'on a déjà le membre de gauche,

2^k > 2k
2*2^k = 2^(k+1) > 4k

maintenant il ne reste plus qu'à travailler sur le membre de droite : 4k, on ne veut pas du 4k, on veut 2(k + 1)
c'est la raison pour laquelle t'as reçu l'indication de travailler sur l'inégalité 4k > 2(k + 1)

car si effectivement elle est vraie pour les k avec lesquels on travail (c'est à dire k 3)
on aura alors établi : 2^(k+1) > 4k > 2(k + 1) soit 2^(k+1) > 2(k + 1)

Posté par
basketball98
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:29

d'accord j'ai compris !!! je termine la démonstration et je la poste ici juste après  !!

Posté par
basketball98
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:33

On sait que 4k>2k+2
On sait que 4k<2^(k+1) alors
2k+2<4k<2^(k+1)
Donc 2^(k+1)>2(k+1)
Donc 2^k>2k

???

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:50

Citation :
On sait que 4k>2k+2
mais tu ne l'as pas encore démontré ! : )

4k > 2(k + 1)

2k > k + 1 (en divisant l'inégalité par 2)  

2k - k > 1

k > 1

DONC, \forall k > 1  on a 4k > 2(k + 1)

en particulier \forall k \geq 3,  4k > 2(k + 1)

Citation :
On sait que 4k>2k+2
On sait que 4k<2^(k+1) alors
2k+2<4k<2^(k+1)
Donc 2^(k+1)>2(k+1)
Donc 2^k>2k
pourquoi cette dernière phrase ?

on reprend l'hérédité

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k 3 fixé, P(k) soit vraie,
on a : 2^k > 2k (on a pas à le démontrer ! on l'a supposée vraie)
Montrons que P(k+1) est vraie soit que 2^(k+1) > 2(k + 1)

On a :
2^k > 2k   2^(k+1) > 4k  (multiplication par 2)

Or \forall k \geq 3,  4k > 2(k + 1)  d'où  2^(k+1) > 4k > 2(k + 1)
puis 2^(k+1) > 2(k + 1) ce qui est P(k + 1)

Hérédité établie.

Posté par
basketball98
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 12:56

On note P(n) la propriété 2^n > 2n, avec n  3

Initialisation : 2^3 = 8 > 2*3 = 6, P(3) est vraie.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k  3 fixé, P(k) soit vraie,
on a : 2^k > 2k
Montrons que P(k+1) est vraie soit que 2^(k+1) > 2(k + 1)

On a : 2^k > 2k --> 2^(k+1) > 4k

4k > 2(k + 1)

2k > k + 1

2k - k > 1

k > 1

DONC,  k > 1  on a 4k > 2(k + 1)
-->pourquoi ramener a k>1?

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 14:23

comment démontre-t-on une inégalité ?

Citation :
maintenant il ne reste plus qu'à travailler sur le membre de droite : 4k, on ne veut pas du 4k, on veut 2(k + 1)
c'est la raison pour laquelle t'as reçu l'indication de travailler sur l'inégalité 4k > 2(k + 1)

car si effectivement elle est vraie pour les k avec lesquels on travail (c'est à dire k 3)
on aura alors établi : 2^(k+1) > 4k > 2(k + 1)
soit 2^(k+1) > 2(k + 1)
il faut démontrer ce qu'il y a en rouge, car elle n'a été faite nulle part, c'est l'objet de cette partie :

Citation :
4k > 2(k + 1)

2k > k + 1 (en divisant l'inégalité par 2)  

2k - k > 1

k > 1

DONC, \forall k > 1  on a 4k > 2(k + 1)

en particulier \forall k \geq 3,  4k > 2(k + 1)


il s'agissait de démontrer que cette inégalité : 4k > 2(k + 1) est vraie pour tout entier k >= 3
comme on a montré qu'elle est vraie pour tout entier k > 1 elle est aussi en particulier pour tout k >= 3

Posté par
basketball98
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 14:25

D'accord...je comprend !! Merci pour votre aide ! C'est tres gentil !!

Posté par
mdr_non
re : démonstration par récurrence 06-09-15 à 14:27

de rien : )



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