Bonjour excusez moi ! , j'ai une démonstration par récurrence a faire et je n'ai pas tout compris pouvez- vous me corriger svp ? merci d'avance
a)
Cette propriété a l'air d'être vraie à partir de
n = 3.
b. Notons P(3) la propriété "2^n>2n" pour tout entier naturel supérieur a 3.
Initialisation :Montrons que Pour n = 3, la propriété P(3)
est vraie.
2^3=8 et 2*3=6 donc 8>6 , donc p(3) est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k fixée , P(k) est vraie
sois que 2^n>2n
montrons que p(k+1) est vrai soit que 2^n+1>2(n+1)
donc 2*2^n>2n+2
après je bloque et je suis pas sur que ça sois juste ..:/
bonjour : )
D'accord , merci beaucoup pour votre réponse !!
pourquoi arrive t'on à 4k ?
--> 2^(k+1)>2(k+1)
-->2*2^k>2*2k+2
???
on part de : 2^k > 2k
on multiplie l'inégalité par 2 (celle-ci conserve son sens car 2 est positif) donc :
2*2^k > 2*2k soit 2^(k+1) > 4k
parce qu'on souhaiterait, à partir de 2^k > 2k
arriver à : 2^(k+1) > 2(k + 1)
une façon d'y arriver, c'est de commencer par faire apparaître le membre de gauche : 2^(k+1)
or 2^(k+1) = 2*2^k, c'est à dire qu'entre 2^(k+1) et 2^k il n'y a qu'un facteur 2, on multiplie donc l'inéquation par 2 et voilà qu'on a déjà le membre de gauche,
2^k > 2k
2*2^k = 2^(k+1) > 4k
maintenant il ne reste plus qu'à travailler sur le membre de droite : 4k, on ne veut pas du 4k, on veut 2(k + 1)
c'est la raison pour laquelle t'as reçu l'indication de travailler sur l'inégalité 4k > 2(k + 1)
car si effectivement elle est vraie pour les k avec lesquels on travail (c'est à dire k 3)
on aura alors établi : 2^(k+1) > 4k > 2(k + 1) soit 2^(k+1) > 2(k + 1)
On sait que 4k>2k+2
On sait que 4k<2^(k+1) alors
2k+2<4k<2^(k+1)
Donc 2^(k+1)>2(k+1)
Donc 2^k>2k
???
On note P(n) la propriété 2^n > 2n, avec n 3
Initialisation : 2^3 = 8 > 2*3 = 6, P(3) est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k 3 fixé, P(k) soit vraie,
on a : 2^k > 2k
Montrons que P(k+1) est vraie soit que 2^(k+1) > 2(k + 1)
On a : 2^k > 2k --> 2^(k+1) > 4k
4k > 2(k + 1)
2k > k + 1
2k - k > 1
k > 1
DONC, k > 1 on a 4k > 2(k + 1) -->pourquoi ramener a k>1?
comment démontre-t-on une inégalité ?
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