mais la question n'est encore une fois pas de te le faire à ta place, mais si tu refuses de montrer tes calculs, ça en restera là.
mais après ... va savoir quelle méthode veut le prof (déja dit et redit)
on veut donc factoriser P(t) = t4 - 4t + 3 en P(t) = (t-1)2Q(t) = (t2 - 2t + 1)Q(t)
où Q(t) est un polynome en t
le degré de Q(t) est 2, pour avoir du degré 4 en multipliant le terme de degré le plus élevé de t2 - 2t + 1 par celui de degré le plus élevé de Q(t)
pour obtenir Q(t) il y a plusieurs méthodes, au choix et selon les connaissances.
soit effectuer une division euclidienne de polynomes : diviser P(t) par t2 - 2t + 1
soit dire que Q(t) étant du second degré, il s'écrit at2 + bt + c, et chercher a,b,c
ceci se fait en développant formellement (et réduisant) (t2 - 2t + 1)(at2 + bt + c)
puis en écrivant que cela doit être formellement égal à t4 - 4t + 3
donc que les coefficients de t4 sont les mêmes (= 1)
que ceux de t3 sont les mêmes (= 0)
que les coefficients de t2 sont les mêmes (= 0)
que ceux de t sont les mêmes (= -4)
et que les termes constants sont les mêmes
les coefficients a et c sont immédiats (terme de degré 4 et terme constant)
il reste à trouver b ...
j'ai trois équations qui donneront b, (coefficients des termes en t3, t2 et t) c'est deux de trop.
on choisit la plus simple
et on vérifie que avec cette valeur de b les deux autres sont satisfaites
(ceci est une preuve que le polynome se factorise effectivement par (x-1)2, et aussi qu'on n'a pas fait d'erreur de calcul )
dernière méthode : on bidouille P(t) pour faire apparaitre des (t-1)2 tant qu'on peut
(ceci revient en fait à refabriquer la division euclidienne)
ici on a en fait assez simplifié la chose en trouvant dès le départ que 1 est racine double (que on peut mettre (x-1)2 en facteur)
si on ne l'avais pas vu (si on ne sait pas que une racine double est racine à la fois de P(t) et de la dérivée P'(t), ou si on n'y pense pas), on aurait tout de même remarqué immédiatement que 1 est racine (tout court)
donc que l'on peut factoriser en P(t) = (t-1)Q(t) avec Q(t) du troisième degré (même méthodes)
une fois ceci effectué, on remarque que 1 est racine de Q(t)
et on recommence en factorisant Q(t) par (t-1)