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Reste de la division Euclidienne
Bonjour! S'il vous plaît j'aurais besoin d'aide pour mon devoir de Maths de maison.
Exercice 1
Déterminer le reste de la division euclidienne de a= 24^47 × 53^88
Ps: ^ = exposant
Bonjour,
Euh, le reste de la division euclidienne de a par quel nombre ???
Désolée c'est la division euclidienne par 7
Mais c'est quoi ton niveau ? tu connais les congruences ?
24⁴⁷ congrue3⁴⁷[7] et 53⁸⁸ congrue 4⁸⁸[7] (je pense)
Ah ben ok.
Oui c'est bien cela.
Prenons le reste de 3^47 par 7.
3 et 7 sont premiers entre eux donc il y a un ordre multiplicatif k tel que 3^k=1 mod 7
Pour cela calcule les restes:
3^0 = ... mod 7
3^1=.... mod 7
etc
jusquà trouver comme reste 1
Raptor
Ah ben ok.
Oui c'est bien cela.
Prenons le reste de 3^47 par 7.
3 et 7 sont premiers entre eux donc il y a un ordre multiplicatif k tel que 3^k=1 mod 7
Pour cela calcule les restes:
3^0 = ... mod 7
3^1=.... mod 7
etc
jusquà trouver comme reste 1
J'ai trouvé :
3⁰=0[7]
3¹=3[7]
3²=2[7]
3³=6[7]
3⁴=4[7]
3⁵=5[7]
3⁶=1[7]
y a juste 3^0 est congru à 1 modulo 7 car (quelquechose)^0 est egal à 1 sauf 0^0 qui n'existe pas.
J'ai oublié de dire que l'ordre multiplicatif est strictement positif.Ici il vaut 6
Maintenant tu fais un tableau de congruence
( 1ere ligne ) n=....mod(6) donc n varie de 0 à 5
2eme ligne tu met 3^n=... mod 7 et tu mets les 6 restes que tu as trouvé: 1 , 3 , 2 , 6 ,4 ,5
Apres 47 correspond à quoi modulo 6 et tu auras le reste parmi les 6 valeurs.
y a juste 3^0 est congru à 1 modulo 7 car (quelquechose)^0 est egal à 1 sauf 0^0 qui n'existe pas.
J'ai oublié de dire que l'ordre multiplicatif est strictement positif.Ici il vaut 6
Maintenant tu fais un tableau de congruence
( 1ere ligne ) n=....mod(6) donc n varie de 0 à 5
2eme ligne tu met 3^n=... mod 7 et tu mets les 6 restes que tu as trouvé: 1 , 3 , 2 , 6 ,4 ,5
Apres 47 correspond à quoi modulo 6 et tu auras le reste parmi les 6 valeurs.
y a juste 3^0 est congru à 1 modulo 7 car (quelquechose)^0 est egal à 1 sauf 0^0 qui n'existe pas.
J'ai oublié de dire que l'ordre multiplicatif est strictement positif.Ici il vaut 6
Maintenant tu fais un tableau de congruence
( 1ere ligne ) n=....mod(6) donc n varie de 0 à 5
2eme ligne tu met 3^n=... mod 7 et tu mets les 6 restes que tu as trouvé: 1 , 3 , 2 , 6 ,4 ,5
Apres 47 correspond à quoi modulo 6 et tu auras le reste parmi les 6 valeurs.
y a juste 3^0 est congru à 1 modulo 7 car (quelquechose)^0 est egal à 1 sauf 0^0 qui n'existe pas.
J'ai oublié de dire que l'ordre multiplicatif est strictement positif.Ici il vaut 6
Maintenant tu fais un tableau de congruence
( 1ere ligne ) n=....mod(6) donc n varie de 0 à 5
2eme ligne tu met 3^n=... mod 7 et tu mets les 6 restes que tu as trouvé: 1 , 3 , 2 , 6 ,4 ,5
Apres 47 correspond à quoi modulo 6 et tu auras le reste parmi les 6 valeurs.
J'ai trouvé 47= 5[6]
A 47 = 5 modulo 6 correspond le reste 5 dans la 2eme ligne donc 3^47 est congru à 5 modulo 7
Donc à présent je fais la même chose pour 53⁸⁸?
Oui tu à déja simplifier en 4^88.
Et rebelote comme 4 et 7 sont premiers entre eux il y bien un ordre multiplicatif.Cherche le et continue comme precedemment.
Oui tu à déja simplifier en 4^88.
Et rebelote comme 4 et 7 sont premiers entre eux il y bien un ordre multiplicatif.Cherche le et continue comme precedemment.
Ah d'accord merci beaucoup
Je finis et je t'envoie mes résultats
Oui tu à déja simplifier en 4^88.
Et rebelote comme 4 et 7 sont premiers entre eux il y bien un ordre multiplicatif.Cherche le et continue comme precedemment.
53⁸⁸=4⁸⁸[7]
4⁰=1[7]
4¹=4[7]
4²=2[7]
4³=1[7]
88=1[3]
=>4⁸⁸[7]
Donc 53⁸⁸=1[7]
euh attend
ordre multiplicatif 3 ok donc tableau congruence modulo 3 n varie de 0 à2
On a les restes trouvés dans l'ordre 1 , 4 , 2
88=1 modulo 33 oui ce qui correspond à un reste de 4 à la 2eme ligne.
Je ne sais pas à quel endroit tu t'es trompé.
salut
pas besoin de tableau de congruence ...
modulo 7 on a :
24 = 3
3^2 = 2
2^3 = 1
53 = -3
(-3)^2 = 2
2^3 = 1
oups 88 =1 modulo 3
Ah oui sisi j'ai trouvé mon erreur
On 88= 1[3]
4⁸⁸= 1[3] ??
salut
pas besoin de tableau de congruence ...
modulo 7 on a :
24 = 3
3^2 = 2
2^3 = 1
53 = -3
(-3)^2 = 2
2^3 = 1
Salut
Pourquoi -3 pour 53?
Non la 1ere ligne est n....mod3 car ordre multiplicatif 3
la 2eme ligne est 4^n=....mod 7 car on etudie le reste de division par 7.
88=1 modulo3 donc 2eme case ce qui correspond à un reste de 4 car les différents restes sont 1 , 4 , 2 dans l'ordre qu on les a trouvés
Non la 1ere ligne est n....mod3 car ordre multiplicatif 3
la 2eme ligne est 4^n=....mod 7 car on etudie le reste de division par 7.
88=1 modulo3 donc 2eme case ce qui correspond à un reste de 4 car les différents restes sont 1 , 4 , 2 dans l'ordre qu on les a trouvés
Donc 4⁸⁸=4[7]?🤔
Raptor
Oui
D'accors ensuite j'ai fait 5×4=20
Or le reste 20>7
J'ai fais alors la division euclidienne de 20par 7
On a : 20=7×2+6
J'ai eu 6
0< 6<7
Donc le reste de la division euclidienne de a= 24⁴⁷×53⁸⁸ par 7 est 6?
C'est juste?
Le 1er reste est 5
le 2e reste est 4
par application du produit le reste est 5 * 4 =20 modulo 7 qu on simplifie en 6 modulo 7
Pourquoi -3 pour 53?
parce que 7 * 8 = 56 ...
Ah d'accord merci à toi😊
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