Résoudre le système
x² + y² = 65
(x - 1)(y - 1) = 18
Merci
Re
Dans la première ligne tu isoles x ce qui te donnes :
Tu remplaces dans la deuxième, tu réduis et tu calcule y, puis tu reportes commodément cette valeur dans une des deux lignes qui composent le système pour conclure sur la valeur de x
J'obtiens un polynome du 4ème degrès c'est étrange :
Utilise la méthode de Ferrari si tu la connais, je sèche un peu sinon ...
On peut nous aider lol ?
Bonjour
Ce n'est pas trés facilment résolvable.
Je propose de poser et
Le systéme devient alors :
soit
En substituant :
En mettant au même dénominateur on tire de la premiére ligne :
Il s'agit à présent de résoudre cette équation, j'y réfléchis (on peut passer par la méthode de Ferrari mais cela m'etonnerais que tu l'aies vu)
Jord
Encore à côté de la plaque
J'aurais du prendre une crayon, j'ai du me tromper dans les calculs, enfin bref merci Jord d'être intervenu. Comment fait-on pour passer outre la méthode de Ferrari ? Je ne la connais pas vraiment ... j'ai survolé le contenu
Merci
Kevin
Non en fait beaucoup plus simple que Ferrari.
3 est une racine évidente.
On peut écrire :
-2 est une racine évidente de
On factorise avec le même procédé puis au final on trouve :
Ah oui j'y est pas pensé aux racines !
Bien joué
Kevin
Après Cardan, il faudra un jour que tu fasses la démo de Ferrari ; non je plaisante...
"Après Cardan, il faudra un jour que tu fasses la démo de Ferrari ; non je plaisante..."
et pourquoi pas ?
en tout cas moi je suis preneur
"Sinon il y la méthode de Descartes qui n'est pas mal "
a celle la par contre j'en ai jamais entendu parler
C'est une méthode de coefficient indeterminée.
elle consiste à trouver a, b, c et d tels que :
L'indentification nous améne alors à résoudre une équation du troisiéme degré résolvable avec Cardan
Jord
Non désolé je n'ai pas de lien infophile, mais ce que j'ai dit résume assez bien la méthode
Non H_aldnoer, de toute façon on peut passer de ax4+bx3+cx2+dx+e à un polynôme sans terme au cube avec le changement de variable
Jord
Oui j'en doute pas mais pour un novice comme moi c'est pas suffisant
Ce n'est pas grave je vais me renseigner à propos de cette méthode, si un jour tu t'ennuies, tu sauras que H_aldno et moi sommes preneur si tu fais une démo
Bonne soirée à vous
Kevin
Ok j'essayerais, mais si ce n'est pas trop long, tu aurais un petit exemple juste pour voir comment tu procède par identification ?
Kevin
Ah non c'est bon je vois comment je vais m'y prendre .
J'essaye ça demain !
Bonne nuit et merci
Kevin
Je me suis peut-être trompé, j'ai fait ça :
J'ai du faire n'importe quoi car ça nous avance à rien ...
Finalement une petite explication n'est pas de refu
Bon alors à 1h30 cela risque d'être un peu dur mais je me lance.
on a :
Ainsi :
Par identification a, b, c et d doivent vérifier :
Il ne reste plus qu'a résoudre ce systéme (la partie la plus dure )
Jord
Bonjour,
Le sytème étant symétrique en x et y, on peut calculer s et p.
s²-2p=65 et p-s=17
p=s+17 et s²-2s-99=0
s=11 et p=29 ou s=-9 et p=8
x et y solutions de z²-11z+28=0 ou x et y solutions de z²+9z+8=0
(7;4) (4;7) (-8;-1) (-1;-8)
>Dasson 03:21
Le sytème étant symétrique en x et y, on peut calculer s et p.
Tu peux expliciter cette façon de faire, stp ?
s et p pour somme et produit ?
merci
Philoux
* symétrique : la question ne change pas si on permute x et y.
* Les nombres dont la somme est s et le produit p sont solutions de z²-sz+p=0
Ok Dasson
C'était le chaînon intermédiaire qui était manquant :
x² + y² = 65
(x - 1)(y - 1) = 18
x²+y²=(x+y)²-2xy=S²-2P=65
(x-1)(y-1)=xy-x-y-1=xy-(x+y)-1=P-S-1=18
Maintenant tout est clair.
Méthode très astucieuse.
Merci
Philoux
En relisant, je vois que je n'ai pas répondu à la question de philoux 12.23.
Une expression "symétrique en x et y" peut toujours être écrite en fonction de s=x+y et p=xy.
Par exemple :
x²+y²=s²-2p
x^3+y^3=s^3-3ps
1/x+1/y=s/p
...
bonjour
résoudre le système
Merci
** image supprimée **
*** message déplacé ***
Merci à Dasson 23:14
Une expression "symétrique en x et y" peut toujours être écrite en fonction de s=x+y et p=xy
Existe-t-il d'autres règles de ce type faisant intervenir, par exemple, x-y et/ou x/y (hormis celles déduites de la précédente consistant à poser y'=-y ou y'=1/y) ?
Merci
Philoux
Philoux, tu as un théorème qui te dit que tout polynôme symétriques peut s'écrire à l'aide de polynômes symétriques "élémentaires".
Ici notre polynôme est de degré 2 (produit de facteur x et de facteur y de degré 1), donc on va faire apparaitre des facteurs du type
x² et y²
xy
x+y
cte
Notamment on voit que x² et y² n'interviendront probablement pas ce qui résoud le problème.
Maintenant pour ce qui est de y=1/y' ou y=-y' on le fait en effet dans certains cas, notamment lorsque l'on étudie des courbes dans le plan et que l'on recherche certaines symétries, ce qui est un problème analogue au notre.
A+
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