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Sens de variation

Posté par
alexhdmt
16-01-23 à 10:00

Bonjour,
j'ai la fonction A(x)= 2x\sqrt{25-x²} et la fonction B(x)= (A(x))².
On me demande de justifier que sur [0;5], c'est deux fonctions ont le même sens de variation.
Est-ce que j'ai raison si j'avance que B(x)= u avec u=2x\sqrt{25-x²} et =2x\sqrt{25-x²} et que puisque est strictement positif sur cet intervalle alors les fonctions A et B ont le même sens de variation sur I?
Merci pour votre aide!

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 10:26

Bonjour

Cela pourrait se faire si \lambda était un nombre réel

Avez-vous étudié le sens de variation des fonctions composées ?

malou edit > balises Ltx rajoutées

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 10:54

Dans le chapitre Etude de fonctions, j'ai vu les fonctions u , (1/u), |u|.
Je ne sais pas ce qui est considéré comme des fonctions composées mais j'ai étudié les cas où u et aussi  u+k. Mais dans ce chapitre, je ne trouve rien de spécifique aux puissances.

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:28

On peut considérer B comme composée de la fonction A suivie de la fonction  x\mapsto x^2.

Soient u et  v  deux fonctions telles que v\circ u soit définie sur I

si u et v ont même sens de variation alors v\circ u est croissante sur I

si u et v ont des sens de variation  contraires alors v\circ u est décroissante sur I

Posté par
malou Webmaster
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:34

Bonjour à vous deux
une autre piste peut-être plus facile pour alexhdmt
1) est-il sûr de ne pas avoir la dérivée de u² dans son cours ?
sinon
2) u²=u*u dont la dérivée est...très facile à trouver comme produit

et comme B(x)= (A(x))²
on dérive et le tour est joué

Je ne faisais que passer. Choisissez ce qui est le plus simple pour alexhdmt

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:44

J'ai vu la dérivée de u² mais dans l'exercice on me demande d'abord de justifier que ces deux fonctions ont les mêmes variations puis ensuite on me demande de dérivée B(x).

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:46

Bonjour,

on peut de façon plus élémentaire étudier directement le taux de variation de B en fonction de celui de A

rappel : définition de "fonction croissante" (ou décroissante) .
une fonction est croissante (ou décroissante) dans un intervalle E si pour tous nombres a et b de E avec a < b, F(a)< F(b) (ou F(a) > F(b))
ici il est inutile d'écrire explicitement A et B en remplaçant explicitement x par a et b
écrire A(a) et A(b) tels que suffit. et B(a) = A(a)² etc

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:50

Bonjour

Cela veut dire de redémontrer les deux théorèmes cités.

A n'est pas monotone sur [0~;~5]

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 11:58

Je suis perdu quels sont les deux théorèmes cités ici?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 12:04

11: 28

Soient u et  v  deux fonctions telles que v\circ u soit définie sur I

1)  si u et v ont même sens de variation alors v\circ u est croissante sur I

2) si u et v ont des sens de variation  contraires alors v\circ u est décroissante sur I

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 12:41

Donc je dois démontrer que v "o" u est croissante pour affirmer que u et v ont le même sens de variation?

Posté par
malou Webmaster
re : Sens de variation 16-01-23 à 13:07

alexhdmt, la prochaine fois, merci de mettre tout ton énoncé recopié au mot près, (on nous demande n'a rien d'un véritable énoncé) dès ta demande, et non pas seulement la 1re question

ça nous aidera à savoir dans quelle direction aller

merci

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 13:11

Avez-vous étudié le sens de variation de A ?

On sait que sur [0~;~5]\  v\ :\ x\mapsto x^2 est croissante

Sur [0~;~\alpha] , si A est une fonction croissante alors

 B =v\circ A est croissante sur cet intervalle


Sur  ]\alpha~;~5]\ A est décroissante alors B est aussi
décroissante sur cet intervalle

donc même sens de variation

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 16-01-23 à 13:25

les guillemets sur "o" montrent déja que tu ne comprends pas vraiment cette notation u \circ v et ce qu'est la composition de deux fonctions.

par définition la fonction u \circ v est la fonction qui à tout x de l'intervalle I fait correspondre u(v(x))
on dit qu'on a "composé" les deux fonctions u et v

ici il s'agira d'appliquer ça à v(x) = A(x) et u(x) = x²
u(v(x)) est l'élévation au carré de u(x) c'est à dire B(x) = u(A(x))

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 16-01-23 à 13:29

je m'aperçois que j'ai échangé u et v
je remets avec les mêmes notations que hekla :

Citation :
les guillemets sur "o" montrent déja que tu ne comprends pas vraiment cette notation v \circ u et ce qu'est la composition de deux fonctions.

par définition la fonction v \circ u est la fonction qui à tout x de l'intervalle I fait correspondre v(u(x))
on dit qu'on a "composé" les deux fonctions u et v

ici il s'agira d'appliquer ça à u(x) = A(x) et v(x) = x²
v(u(x)) est l'élévation au carré de u(x) c'est à dire B(x) = v(A(x))

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 16-01-23 à 13:48

Note importante :

Citation :
dans l'exercice on me demande d'abord de justifier que ces deux fonctions ont les mêmes variations puis ensuite on me demande de dérivée B(x).
et donc la remarque fondamentale de malou ;
tu dois donner l'énoncé mot à mot entier dès le départ
ça éviterait à hekla de poser la question
Citation :
Avez-vous étudié le sens de variation de A ?
dont la réponse est évidement non vu que il s'agira plus tard dans l'exo de déduire les variations de A à partir des variations de B et de ce que l'on aura démontré avant (que B et A ont les mêmes variations)

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 14:09

"Sur la figure ci-contre MNPQ est un rectangle inscrit dans le demi-cercle de centre O et de rayon OI=5. On se propose de déterminer la position du point M sur le segment [OI] telle que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale.
1. On note x=OM (0x5) et A(x) l'aire du rectangle MNPQ.
a) Démontrer que A(x)= 2x\sqrt{25-x²}
b) Pour tout nombre réel x de [0;5], on pose B(x)=(A(x))².
Justifier que les fonctions A et B ont le même sens de variation.
2.a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction B.
b) Terminer l'étude."

+ Je ne trouve pas ou se situe le symbole "o" pour les fonctions combinés.

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 14:34

Une figure

Sens de variation

C'est sûr, l'étude de B est plus simple que celle de A.

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 14:56

Je dois faire quoi concrètement avec les fonctions combinées?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 15:25

Montrer que A et B ont même sens de variation

  Si A est croissante sur un intervalle, comme la fonction « carré », notée ici v, est croissante sur [0~;~5]   alors la composée A suivie de v, c'est-à-dire B, est croissante sur l'intervalle.

De même avec A décroissante.

Pour vous convaincre

On suppose A croissante sur I.  Pour tout x_1, x_2\  x_1<x_2 \Rightarrow A(x_1)<A(x_2)

À cette inégalité, on applique la fonction v qu'on sait être croissante, donc

A(x_1)<A(x_2)\Rightarrow \underbrace{v(A(x_1))}_{B(x_1)}<\underbrace{v(A(x_2)) }_{B(x_2)} \\


Conclusion A et B  sont alors toutes deux croissantes sur l'intervalle

On fait la même chose avec l'autre cas, toutes les deux décroissantes, on conclut sur le sens de variation de A et B.
La rédaction est incomplète.

On passe alors à la question suivante.

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 15:38

Je dois dériver A et ensuite faire son tableau de variation?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 15:56

Non Si vous lisiez bien le texte,13 : 48, on étudie les variations de B pour en déduire ceux de A.

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 15:57

lire celles de A

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 16:04

Alors comment puis-je affirme que A est croissante ou décroissante sur un intervalle si je ne l'étudie pas avant? Vraiment je suis perdu je n'ai jamais vu de ma vie les fonctions combinées, je n'ai jamais fait un seul exercice avec. Tout ça pour moi c'est du charabia.

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 16:18

Que vaut B(x)  ?

N'est-ce pas un polynôme ?   Vous pouvez alors étudier le sens de variation normalement.

On dit composées, pas combinées (simple remarque )

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 16:51

B(x)= (2x\sqrt{25-x²})²= -4x^{^{4}}+100x²
Je dois résoudre cette équation Bicarré pour répondre?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 16:54

Non, vous cherchez le sens de variation de cette fonction x\mapsto -4x^4+200x^2

Dérivée signe de la dérivée sens de variation   tableau

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 16-01-23 à 17:05

D'accord et une fois que j'ai fait ça, je dois continuer comment?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 16-01-23 à 17:19

Là, où vous avez montré que B était croissante, vous dites que A l'est de même pour décroissante.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 08:28

Bonjour,
Je modifie les ponctuations pour clarifier le message de hekla :

Citation :
Là où vous avez montré que B était croissante, vous dites que A l'est.
De même pour décroissante.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 08:35

Et je corrige une coquille :

Citation :
Non, vous cherchez le sens de variation de cette fonction x\mapsto -4x^4+100x^2
C'est bien 100 et pas 200

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 17-01-23 à 09:02

Je crois que je comprends mieux mais du coup, j'ai déjà répondu à la question 2.a)?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 17-01-23 à 09:52

Bonjour

Merci, Sylvieg, pour la surveillance et la correction des erreurs.

Vous avez écrit la définition de B
.
Dans le fil, vous n'avez pas écrit la dérivée, ni le sens de variation, on ne peut donc pas dire que vous avez répondu à la question  

Citation :
2.a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction B.

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 17-01-23 à 10:33

Si à la question 1)b., je dérive la fonction B pour dresser son tableau de variation puis qu'ensuite je fais la même chose avec la fonction A alors automatiquement j'ai déjà répondu à la question 2.

Posté par
hekla
re : Sens de variation 17-01-23 à 10:50

Question 1 b

On vous demande de montrer que A et B ont même sens de variation. C'est tout.

Question 2 a) Déterminer la dérivée de B.  C'est donc ici que l'on vous demande de dériver la fonction B définie par -4x^4+100x^2

2 b)  terminer l'étude

signe de la dérivée de B.
sens de variation de B.
tableau pour résumer.
sens de variation de A. Il n'y a rien à ajouter, on reprend le résultat de la question 1

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 17-01-23 à 11:05

Oui mais la question 1 b, je ne peux pas montrer qu'elles ont le même sens de variation si je ne les dérive pas au préalable pour faire leurs tableaux de variation?

Posté par
hekla
re : Sens de variation 17-01-23 à 11:19

C'est pourtant ce que l'on a fait et il n'y a pas été question de dérivation

On suppose A croissante sur I.  Pour tout x_1, x_2\  x_1<x_2 \Rightarrow A(x_1)<A(x_2)

À cette inégalité, on applique la fonction v qu'on sait être croissante, donc

A(x_1)<A(x_2)\Rightarrow \underbrace{v(A(x_1))}_{B(x_1)}<\underbrace{v(A(x_2)) }_{B(x_2)} \\
On a montré que pour tout x_1, tout x_2, \quad x_1<x_2 \Rightarrow B(x_1)<B(x_2)  \\
Par définition, B est croissante sur I


Conclusion A et B sont alors toutes deux croissantes sur l'intervalle

On fait de même avec l'autre cas, toutes les deux décroissantes,

on conclut : dans les deux cas, le sens de variation de A et B est le même.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 11:36

je confirme la réponse de hekla

à quelques virgules près car ça c'est faux :

Citation :
la fonction « carré », notée ici v, est croissante sur [0 ; 5] 
certes mais pas le bon intervalle pour v.
la fonction v n'est pas à appliquer sur [0; 5] mais sur l'image par A de [0; 5}
il faut donc montrer que quel que soit x de [0; 5] alors A(x) est > 0 (ou nul) (facile)
A(x) est donc dans [0; +oo[ et la fonction v est bien croissante dans [0 ; +oo[ et la suite de la démo marche.

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 17-01-23 à 13:47

Je ne vous suis pas, la fonction A est croissante sur [0; 3,536] et décroissante sur [3,536; 5]. Je crois qu'il manque un mot dans votre dernière phrase mais en aucun cas je trouve que v est croissante sur [0;+[

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 14:12

v c'est la fonction carré : x x² et rien d'autre

on la limite à [0 +oo[ pour qu'elle soit croissante et que l'on puisse appliquer les calculs qui suivent
et encore et encore, on répète :
on se fiche des variations précises de A et de B pour montrer qu'elles ont les mêmes variations
quelle que soit la fonction A(x), du moment qu'elle est définie et positive partout sur un intervalle (ici sur [0; 5})
les fonctions A(x) et B(x) = A(x)² auront les mêmes variations sur cet intervalle
quelles que soient ces variations
c'est ça qu'on doit démontrer question 1b et rien d'autre.

le problème est que tu ne comprends pas les compositions de fonctions
(déja dit le 16-01-23 à 13:29)

c'est pour ça (parce que la démonstration donnée ici te passe au dessus de la tête, parce que tu ne la comprends pas vraiment) que j'avais suggéré de revenir aux bases, sans utiliser la notion de fonctions composée.

les bases c'est la définition :
f(x) est croissante (respectivement décroissante) dans un intervalle I si quels que soient a et b dans I avec a > b alors f(a) > f(b) (resp. f(a) < f(b))
bref l'étude des variations de f est la même chose que l'étude du signe de f(a) - f(b) selon les valeurs de a et b

appliquons cette définition à l'exo
B(a) - B(b) = A(a)² - A(b)² = (A(a)+A(b))(A(a)-A(b))
or dans tout l'intervalle de définition de A, A(x) 0 (le justifier) et donc A(a)+A(b) > 0
le signe de B(a) -B(b) est donc le même que celui de A(a) -A(b)
et c'est terminé , les variations sont les mêmes quelles que soient ces variations

Posté par
hekla
re : Sens de variation 17-01-23 à 14:27

v étant la fonction « carré », vous avez dû voir en seconde que cette fonction était croissante sur \R+ et décroissante sur \R^-

Pour tout  x\in [0~;~5] \  A(x)\geqslant 0 comme produit de termes positifs

 B'(x)=-16x^3+200x=-16x\left(x^2-\dfrac{25}{2}\right)

d'où B'(x)\geqslant 0  $ si $ x\in \left[0~;~\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right] et B'(x)\leqslant 0  $ si $ x\in \left[\dfrac{5\sqrt{2}}{2}~;~5\right]

\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,536  donc on est d'accord, mais il vaudrait mieux d'abord donner la valeur exacte.

Il reste à écrire le sens de variation de A

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 14:37

ça c'est la question 2
le demandeur butte encore sur la 1b

Posté par
hekla
re : Sens de variation 17-01-23 à 14:50

Citation :
, la fonction A est croissante sur [0; 3,536] et décroissante sur [3,536; 5].


C'est à cela que correspondait ma réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sens de variation 17-01-23 à 14:56

citation partielle
il manque la partie importante de ce message :

Citation :
en aucun cas je trouve que v est croissante sur [0;+[

qui montre bien que l'interrogation portait sur la question 1b



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