Bonjour
Pour procéder méthodiquement et être sûr d'obtenir un résultat, je trouve qu'il est pratique d'étudier la fonction associée, f(x) = ((x+1)/x)^x, sur R+, afin de montrer qu'elle est croissante
Sa dérivée a beaucoup de termes mais rien d'insurmontable pour montrer, même au lycée, qu'elle est positive, au moins à partir d'un certain rang

Je ne sais pas si c'est ce que tu entends par "élémentaire". Là je l'ai entendu comme facile à faire et ne demandant pas d'astuce de calcul

Zormuche : les fonctions ne sont pas au programme du lycée. Même n'est plus au programme de Terminale! En physique, on ne peut même plus écrire une décroissante exponentielle par . J'ai vu ces fonctions uniquement maintenues en Terminale STI2D.

C'est vrai mais j'estime qu'un lycéen debrouillard saura la dériver... En tout cas, une fois la dérivée obtenue, il n'y a plus aucun piège

Montrer par récurrence que u_n+1/u_n>1
Pour l'initialisation, facile: u₂/u₁=9/8

Bonne idée la récurrence
En fait, ça revient à démontrer que est croissante, non ?

Non...

Bonjour,
au niveau terminale on peut considérer avec : est négative donc est décroissante, de limite nulle en l'infini et par suite est croissante.

Oui ; permet de contourner (u(x))^x.

Bonjour,

Il me semble que la méthode suivante est assez simple:

Soit n un entier naturel non nul.  On a:
u_n+1 u_n (1+1/(n+1)) ((1+1/n)^n)^(1/(n+1)) ((1+n(1+1/n))/(n+1) ((1*(1+1/n)^n)^(1/(n+1)) : (*)

(*) est l'inégalité entre la moyenne arithmétique  et la moyenne géométrique  des (n+1) nombres réels  x_{0 =1} et x₁= x₂ =...=x_n=1+1/n  qui est vraie ,donc u_n+1 u_n

@alwafi,
Je ne vois pas de moyenne arithmétique ni géométrique de n+1 réels dans ce que tu as écrit.

Bonsoir,

dans (*) , le terme de gauche de l'inégalité représente bien la moyenne arithmétique des réels   x₀,  x₁  , ..., x_n et le terme de droite leur moyenne géométrique.

D'accord
Ce qui est intéressant, c'est qu'une des démonstration de l'inégalité arithmético-géométrique, celle de Pólya, utilise e^x 1+x.
Or c'est le point de départ du sujet encadrement exponentielle à l'origine de ma question.