Bonsoir
je vous propose le ptit exercice suivant (facile) , on demarre une somme en commencant par l'entier n = 20 puis on ajoute successivement 1 , soit 20 +21 +22 +23 +....ect jusqu'à ce que la somme obtenue soit un carré parfait . cette somme va donc de
20 à p , ... mais que vaut p ?
Bonsoir,
on peut généraliser à un entier .
La somme est un carré pour
Bonjour,
J'ai trouvé bien sûr comme Leile pour n =20
on observe que pour n quelconque
=nx+x(x+1)/2
En développant ,je vais chercher pour quel x et un carré....
bravo à tous , ce qu'a proposé Jandri est pas mal du tout , j'ai repris son idée mais j'ai un resultat different mais qui colle
en posant : n + (n+1 +(n+2) +.....(n+p)= X² s' écrit :
p(p+1)/2 + n(p+1)= X² soit
(p+1)( p/2 + n)= X²
en posant X = p+1 et X = p/2 + n il vient : p = 2(n-1)
avec n = 20 , p = 38 et le dernier dela somme qui est : n + p vaut
20+38 = 58 .
Je n'ai rien compris à ton calcul ( c'est certainement de ma faute )
On a (p+n)(p-n+1)=2x² qui est vérifié quand p=3n-2 avec x=2n-1 mais pour d'autres valeurs de n , on peut trouver p<3n-2 . Je pense que c'était le sens du message de Jandri .
Imod
Le résultat donné par flight est le même que le mien, il a simplement changé ses notations (par rapport à son premier message) en remplaçant p par n+p.
Bonjour à tous
Comme moi on a tous un peu tendance à écrire trop vite surtout quand c'est simple d'où "on se mélange les pinceaux".
Les formules de flight de 10h30 sont bonnes sauf la ligne "en posant X=p+1 ...". Imod 11h34 ta formule ne fonctionne pas mais tu as rectifié.
Je peux revenir quelques temps sur ce forum et j'ai quelques croustillants problèmes qui dorment dans mes archives à vous présenter.
Ou bien, si on écrit , .
Supposons qu'il existe n un entier tel que , on développe cela en un trinôme du second degré en et on trouve la condition équivalente
Le discriminant est , qui est évidemment impair et strictement positif.
La seule racine possible (positive) du trinôme est .
Mais alors, cela veut dire que .
On est donc ramené à trouver un , tel que soit un carré parfait. Algorithmiquement, c'est plus simple que de trouver un n tel que truc/2 = n^2 parce qu'on ne sait jamais quel facteur de 'truc' sera pair.
Mais là en plus c'est particulièrement facile parce que peut être précalculé et on a une suite avec une relation de récurrence . Il n'a même pas besoin de calculer le moindre carré.
Voici un bruteforcer en Python qui fait ça. Avec des bornes horribles, mais ok
Je pense que la formule de jandri vérifiée par Imod et Ulmiere convient dans tous les cas mais effectivement il y a
des solutions inférieures ou supérieures...
-->361 = 19²
-->1521= 39²
-->3481 =59²
pour n<100 par exemple
n=60 à 39 solutions !!
bonjour,
Mon test pour 60 se limitait à ,mais compte tenu du nombre
infini de carrés ,je me doutais bien qu'il en était de même pour les
solutions.
Donc il est bon de retenir que 3n-2 est toujours sûr mais ne répond pas à l'énoncé de flight qui demande la première .
pour trouver la première valeur :
- la force brute de 1 à 3n-2
- l'algorithme LMM (Lagrange Matthews Mollin) qui gagne pas mal d'essais mais est bien plus compliqué
- le solveur automatique d'équations quadratiques dans ax² + bxy+ cy² +dx +ey +f = 0 alpertron
il faut ensuite filtrer dans par les formules de récurrence.
un algo "force brute" en Python :
from math import *
# n + (n+1) + ... + (n+k) = r²
# n+k <= 3n-2
def trapsq(n):
nb = 0
for k in range(1,2*n-1) : # de 1 à 2n-2 inclus
s = ((k+1)*(2*n+k))//2 # division entière
r = int(sqrt(s))
if r*r == s :
print(n," + ... +",n+k," = ",s," = ",r,"²",sep="")
nb = nb+1
print(nb,"solutions <= 3n-2 =",3*n-2)
trapsq(11)
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