bonsoir flight

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p vaut 58, la somme est alors égale à 39² = 1521

Bonsoir Leile , bravo !

Bonsoir,

on peut généraliser à un entier .

La somme est un carré pour

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Bonjour,
J'ai trouvé bien sûr comme Leile pour n =20
on observe que  pour n  quelconque

=nx+x(x+1)/2
En développant   ,je vais chercher  pour quel x   et un carré....

bravo à tous , ce qu'a proposé Jandri est pas mal du tout , j'ai repris son idée mais j'ai un resultat different mais qui colle  

en posant  : n + (n+1 +(n+2) +.....(n+p)= X²   s' écrit :
                          p(p+1)/2 + n(p+1)= X²  soit
                          (p+1)( p/2  +  n)= X²
en posant  X = p+1   et X = p/2 + n   il vient  :  p = 2(n-1)

avec n = 20  , p = 38   et le dernier dela somme qui est :  n + p  vaut

20+38 = 58 .

Je n'ai rien compris à ton calcul ( c'est certainement de ma faute )

On a (p+n)(p-n+1)=2x² qui est vérifié quand p=3n-2 avec x=2n-1 mais pour d'autres valeurs de n , on peut trouver p<3n-2 . Je pense que c'était le sens du message de Jandri .

Imod

Le résultat donné par flight est le même que le mien, il a simplement changé ses notations (par rapport à son premier message) en remplaçant p par n+p.

D'accord , il reste tout de même (p+1)(n+p/2)=x² donc x=p+1=n+p/2 ?

Imod

Bonjour à tous
Comme moi on a tous un peu tendance à écrire trop vite surtout quand c'est simple d'où "on se mélange les pinceaux".
Les formules de flight de 10h30 sont bonnes sauf la ligne "en posant X=p+1 ...". Imod 11h34 ta formule ne fonctionne pas mais tu as rectifié.
Je peux revenir quelques temps sur ce forum et j'ai quelques croustillants problèmes qui dorment dans mes archives à vous présenter.

Ou bien, si on écrit ,      .

Supposons qu'il existe n un entier tel que , on développe cela en un trinôme du second degré en et on trouve la condition équivalente


Le discriminant est , qui est évidemment impair et strictement positif.

La seule racine possible (positive) du trinôme est .

Mais alors, cela veut dire que .

On est donc ramené à trouver un , tel que soit un  carré parfait. Algorithmiquement, c'est plus simple que de trouver un n tel que truc/2 = n^2 parce qu'on ne sait jamais quel facteur de 'truc' sera pair.


Mais là en plus c'est particulièrement facile parce que peut être précalculé et on a une suite avec une relation de récurrence . Il n'a même pas besoin de calculer le moindre carré.

Voici un bruteforcer en Python qui fait ça. Avec des bornes horribles, mais ok

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def gen_u(P, limit=100):
  u = P
  for n in range(limit+1):
    yield (u, n)
    u += ((n << 1) | 1) << 3
  
def solution(p):
  P = 4*p*(p-1) + 1
  limit = p**2
  suite_u = gen_u(P, limit)
  
  sqrtp = int(p ** 0.5)
  carres_parfaits = set(r**2 for r in range(sqrtp,limit+1))
    
  for (Delta2, n) in suite_u:
    if Delta2 in carres_parfaits:
      q = (int(Delta2 ** 0.5) ^ 1 ) >> 1
      if q > p:
        S = ((q-p+1) * (p+q)) >> 1
        return (q, S, n)
  
def verifier(p):
  (q, S, n) = solution(p)
  print(f"q = {q}")
  print(f"S = {p} + ... + {q} = {S}")
  print(f"n^2 = {n}^2 = {n**2}")
  print(["Raté", "OK"][S == n**2])
  
verifier(20)

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q = 58
S = 20 + ... + 58 = 1521
n^2 = 39^2 = 1521
OK

Je pense que la formule de jandri vérifiée par Imod et Ulmiere convient dans tous les cas mais effectivement il y a
des solutions inférieures ou supérieures...

-->361  =  19²
-->1521= 39²
-->3481 =59²
pour n<100 par exemple
n=60 à 39 solutions !!

bonjour,

Mon test pour 60 se limitait à   ,mais compte tenu du nombre
infini de carrés ,je me doutais bien qu'il en était de même pour les
solutions.
Donc il est bon de retenir que  3n-2 est toujours sûr mais ne répond pas à l'énoncé de flight qui demande la première .

pour trouver la première valeur :

- la force brute de 1 à 3n-2

- l'algorithme LMM (Lagrange Matthews Mollin) qui gagne pas mal d'essais mais est bien plus compliqué

- le solveur automatique d'équations quadratiques dans ax² + bxy+ cy² +dx +ey +f = 0 alpertron
il faut ensuite filtrer dans par les formules de récurrence.

un algo "force brute" en Python :

from math import *

# n + (n+1) + ... + (n+k) = r²
# n+k <= 3n-2
def trapsq(n):
    nb = 0
    for k in range(1,2*n-1) : # de 1 à 2n-2 inclus
        s = ((k+1)*(2*n+k))//2 # division entière
        r = int(sqrt(s))
        if r*r == s :
            print(n," + ... +",n+k," = ",s," = ",r,"²",sep="")
            nb = nb+1
    print(nb,"solutions <= 3n-2 =",3*n-2)

trapsq(11)