Soit (U_n) une suite géométrique de raison q.

Soit S_n=U₀+U₁+...+U_n

On a alors :
S_n=(U₀-U_n+1)/(1-q)

Comme U_n=U₀qⁿ

S_n=(U₀-U₀qⁿ⁺¹)/(1-q)

ou encore :
S_n=U₀(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)

@+

Victor a absolument raison    , et en voici la
démonstration (eh ouais avec le nouveau bac on c jamais ) :
Soit Vn une suite géométrique de raison q et de premier terme v₀,
on a :

Un =u₀ * qⁿ

Soit la suite Sn définie par :

Sn = u₁ + u₁ + ... + u_n

On a :

Sn=u₀*q⁰+u₀*q¹+u₀*q²+...+u₀*qⁿ

On a également :
q*Sn=u₀*q¹+u₀*q²+u₀*q³+...+u₀*q⁽ⁿ⁺¹⁾

Faisons à présent la soustractions de Sn par Sn * q :
   Sn - Sn * q = (1-q) * Sn

Il faut remarquer que le n-ieme terme de Sn est égal au (n-1)-ieme terme
de Sn*q (le deuxieme terme de Sn est égal à u₁ or dans
Sn * q c'est le premier terme qui est égal à u₁ et
ainsi de suite). Les termes s'annulent ains deux à deux et on
obtient :

  Sn - Sn * q = u₀ * q⁰ - u₀ * q⁽ⁿ⁺¹⁾
  Sn * (1 - q) = u₀ - u₀ * q⁽ⁿ⁺¹⁾
  Sn * (1 - q) = u₀ * (1 -  q⁽ⁿ⁺¹⁾)
Sn = u₀ * [(1 - q⁽ⁿ⁺¹⁾) / (1 - q)]