Annuler
connectez vous
- Un petit rappel de Cours sur le dénombrement - terminale
- Sept Exercices Q.C.M. sur le dénombrement - terminale
- Complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale
- Enseignement scientifique : suite, probabilité, fonction - sujet de bac - terminale
- Enseignement scientifique : suite, probabilité, fonction - sujet de bac - terminale
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Autres ressourcesTopics traitant de Autres ressources [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
structures algebriques
Posté par aya4545
bonjour
priere m orienter pour depasser ce blocage
On rapelle que : (M2 (R), +, ×) est un anneau unitaire , (M2 (R), +, ·) est un espace vectoriel réel
(C, +, ×) est un corps commutatif et (C, +, ·) est un espace vectoriel réel .
Pour tout reel a et b
On considère l'ensemble : E ={ M(a, b) / a, b∈ R}
1. a) Montrer que (E, +, .) est un espace vectoriel réel .
b) Montrer que la famille B = (I, A) est une base de l'espace vectoriel (E, +, .)et déduire dimE .
2. a) Vérifier que et déduire que A est inversible dans (M2(R), ×)
b) Montrer que l inverse de A est un element de E et déterminer son couple de coordoonnées dans la base B .
c) Montrer que (A, A−1)est une base l'espace vectoriel (E, +, .) .
3. Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif unitaire non intégre .
On posera U l'ensemble des éléments inversibles et D l'ensemble des des diviseurs de zéro dans l'anneau
(E, +, ×) . ( On rappelle que (U, ×) est un groupe
4. a) Montrer que pour tout
b) Montrer que pour tout
c) Montrer que
est un sous groupe de (U, ×) .
je bloque dans 4) a)
NB la propritée M inversible ssi son determinant est non nul
n est plus au programme
Bonsoir,
Une piste, peut-être pas la plus simple :
(aI+bA)(a'I+b'A) = 
est équivalent à
aa'-2bb' = 0 et ab'+a'b+3bb' = 0.
Traiter à part les cas où bb' = 0.
Si b et b' non nul, on trouve
(a/b)
(a'/b') =2 et (a/b)+(a'/b') =-3.
Ce qui permet de trouver les valeurs possibles de a/b.
Vérifier ensuite que aI+bA est bien diviseur de 0 pour ces valeurs.
bonsoir et merci Sylvieg
premier cas si
je verifie que aI+bA est bien diviseur de 0 pour a+b=0 ou a+3b=0 .
mais attend Sylvieg avant d etudier la reciproque et le second cas une idée me vient à la tete je pense qu elle est bonne
considerone le systeme (S)
ou a' et b' des inconnues et a et b des parametres reels
ona d une part (0,0) =(a',b') solution de (S)
d autre part aussi solution de (S)(puisue M(a',b') un diviseur de 0
ssi (S) n est pas un systeme de Grammer ssi detM(a,b) =0 d ou le resultat
reciproquement
a/b=-1 donc a'/b'=-2
ona (aI +bA)(a'I+b'A)=a(I-A)a'(I-1/2A)=0
a/b=-2 donc a'/b'=-1
(-2bI+bA)(a'I-a'A)=ba'(-2I+A)(I-A)=0
reste a traiter le cas bb'=0
mais sans oublier que
supposons
Bonjour,
Une erreur à 23h05 :
C'est a/b =-1 ou a/b =-2 .
Ton idée de 00h18 est la bonne 
Je pense qu'alors il est inutile de séparer en 2 cas, et de faire une réciproque.
Pour a et b réels donnés et x et y inconnues réelles, on cherche quand
(aI+bA)(xI+yA) = a des solutions autres que (0,0).
C'est équivalent, pour le système suivant, de ne pas être un système de Cramer :
ax - 2by = 0
bx + (a+3b)y = 0
bonjour
merci Sylvieg
je ne vois pas pourquoi on ne peut pas dire pour un eleve de terminal sc maths : que dans l ensembles des matrices
M inversible ssi son determinant est non nul
de meme si f est un isomorphisme de il se trouve parfois que l ensemble a transferer ses propritées soit
mais aussi ici la proprietée :
l isomorphisme reciproque d un isomorphisme est un isomorphisme n est plus au programme
et pour y remedier il fallait considerer et montrer que g est un isomorphisme de
merci Sylvieg et bonne journée
Oui, pour l'équivalence entre inversible et déterminant non nul est facile à démontrer si l'on sait caractériser les systèmes de Cramer pour deux équations à deux inconnues.
Mais avec où n entier naturel quelconque, c'est moins évident.
Ça dépend de ce qui est connu sur les systèmes de n équations à n inconnues.
Bonne journée à toi aussi.
salut
en France en terminale on ne parle même pas des anneaux et espaces vectoriels donc encore moins de M2(R)
4/ puisqu'on donne la réponse qu'as-tu fais au minimum pour (commencer à) y répondre ?
bonjour
(aI+bA)(xI+yA) = a des solutions autres que (0,0).
C'est équivalent, pour le système suivant, de ne pas être un système de Cramer :
ax - 2by = 0
bx + (a+3b)y = 0
ssi det S=0 ssi
je ne comprends pas pourquoi tu ne développe par l'équation (aI + bA)(xI + yA) = O pour obtenir un système de quatre équations en les inconnues a et b ...
bonjour carpediem
c est deja fait voir le message de Sylvieg 4/6/22 a 22h20
et mon message le meme jour à 23h05 et merci
Bonjour,
@aya4545 En développant et en utilisant les questions précédentes, tu vas obtenir
Or est une base de
.
le produit sera nul ssi les 2 coefficients sont nuls, ce que tu as déjà exploité
@ larrech,
Cette piste a déjà été donnée dans le message de ce matin à 9h09, avec x et y au lieu de a' et b'.
A partir d'une idée de aya4545.
@carpediem
Cette piste ne donne effectivement que 2 équations et pas 4.
@Sylvieg Bonjour,
Oui j'avais bien vu et tout le mérite t'en revient, mais c'est l'histoire des 4 équations qui m'a fait réagir et le fait de voir aya4545 repartir dans des calculs inutiles. C'est tout.
D'accord, mais le mérite revient à aya4545 
Je te laisse répondre pour 4)c) car je ne vais plus être disponible.