Inscription / Connexion Nouveau Sujet
structures algebriques
bonjour
priere m orienter pour depasser ce blocage
On rapelle que : (M2 (R), +, ×) est un anneau unitaire , (M2 (R), +, ·) est un espace vectoriel réel
(C, +, ×) est un corps commutatif et (C, +, ·) est un espace vectoriel réel .
Pour tout reel a et b
On considère l'ensemble : E ={ M(a, b) / a, b∈ R}
1. a) Montrer que (E, +, .) est un espace vectoriel réel .
b) Montrer que la famille B = (I, A) est une base de l'espace vectoriel (E, +, .)et déduire dimE .
2. a) Vérifier que et déduire que A est inversible dans (M2(R), ×)
b) Montrer que l inverse de A est un element de E et déterminer son couple de coordoonnées dans la base B .
c) Montrer que (A, A−1)est une base l'espace vectoriel (E, +, .) .
3. Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif unitaire non intégre .
On posera U l'ensemble des éléments inversibles et D l'ensemble des des diviseurs de zéro dans l'anneau
(E, +, ×) . ( On rappelle que (U, ×) est un groupe
4. a) Montrer que pour tout
b) Montrer que pour tout
c) Montrer que
est un sous groupe de (U, ×) .
je bloque dans 4) a)
NB la propritée M inversible ssi son determinant est non nul
n est plus au programme
Bonsoir,
Une piste, peut-être pas la plus simple :
(aI+bA)(a'I+b'A) = 
est équivalent à
aa'-2bb' = 0 et ab'+a'b+3bb' = 0.
Traiter à part les cas où bb' = 0.
Si b et b' non nul, on trouve
(a/b)
(a'/b') =2 et (a/b)+(a'/b') =-3.
Ce qui permet de trouver les valeurs possibles de a/b.
Vérifier ensuite que aI+bA est bien diviseur de 0 pour ces valeurs.
bonsoir et merci Sylvieg
premier cas si
je verifie que aI+bA est bien diviseur de 0 pour a+b=0 ou a+3b=0 .
mais attend Sylvieg avant d etudier la reciproque et le second cas une idée me vient à la tete je pense qu elle est bonne
considerone le systeme (S)
ou a' et b' des inconnues et a et b des parametres reels
ona d une part (0,0) =(a',b') solution de (S)
d autre part aussi solution de (S)(puisue M(a',b') un diviseur de 0
ssi (S) n est pas un systeme de Grammer ssi detM(a,b) =0 d ou le resultat
reciproquement
a/b=-1 donc a'/b'=-2
ona (aI +bA)(a'I+b'A)=a(I-A)a'(I-1/2A)=0
a/b=-2 donc a'/b'=-1
(-2bI+bA)(a'I-a'A)=ba'(-2I+A)(I-A)=0
reste a traiter le cas bb'=0
mais sans oublier que
supposons
Bonjour,
Une erreur à 23h05 :
C'est a/b =-1 ou a/b =-2 .
Ton idée de 00h18 est la bonne 
Je pense qu'alors il est inutile de séparer en 2 cas, et de faire une réciproque.
Pour a et b réels donnés et x et y inconnues réelles, on cherche quand
(aI+bA)(xI+yA) = a des solutions autres que (0,0).
C'est équivalent, pour le système suivant, de ne pas être un système de Cramer :
ax - 2by = 0
bx + (a+3b)y = 0
bonjour
merci Sylvieg
je ne vois pas pourquoi on ne peut pas dire pour un eleve de terminal sc maths : que dans l ensembles des matrices
M inversible ssi son determinant est non nul
de meme si f est un isomorphisme de il se trouve parfois que l ensemble a transferer ses propritées soit
mais aussi ici la proprietée :
l isomorphisme reciproque d un isomorphisme est un isomorphisme n est plus au programme
et pour y remedier il fallait considerer et montrer que g est un isomorphisme de
merci Sylvieg et bonne journée
Oui, pour l'équivalence entre inversible et déterminant non nul est facile à démontrer si l'on sait caractériser les systèmes de Cramer pour deux équations à deux inconnues.
Mais avec où n entier naturel quelconque, c'est moins évident.
Ça dépend de ce qui est connu sur les systèmes de n équations à n inconnues.
Bonne journée à toi aussi.
salut
en France en terminale on ne parle même pas des anneaux et espaces vectoriels donc encore moins de M2(R)
4/ puisqu'on donne la réponse qu'as-tu fais au minimum pour (commencer à) y répondre ?
bonjour
(aI+bA)(xI+yA) = a des solutions autres que (0,0).
C'est équivalent, pour le système suivant, de ne pas être un système de Cramer :
ax - 2by = 0
bx + (a+3b)y = 0
ssi det S=0 ssi
je ne comprends pas pourquoi tu ne développe par l'équation (aI + bA)(xI + yA) = O pour obtenir un système de quatre équations en les inconnues a et b ...
bonjour carpediem
c est deja fait voir le message de Sylvieg 4/6/22 a 22h20
et mon message le meme jour à 23h05 et merci
Bonjour,
@aya4545 En développant et en utilisant les questions précédentes, tu vas obtenir
Or est une base de
.
le produit sera nul ssi les 2 coefficients sont nuls, ce que tu as déjà exploité
@ larrech,
Cette piste a déjà été donnée dans le message de ce matin à 9h09, avec x et y au lieu de a' et b'.
A partir d'une idée de aya4545.
@carpediem
Cette piste ne donne effectivement que 2 équations et pas 4.
@Sylvieg Bonjour,
Oui j'avais bien vu et tout le mérite t'en revient, mais c'est l'histoire des 4 équations qui m'a fait réagir et le fait de voir aya4545 repartir dans des calculs inutiles. C'est tout.
D'accord, mais le mérite revient à aya4545 
Je te laisse répondre pour 4)c) car je ne vais plus être disponible.
Annuler
connectez vous