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* Suite 3 *

Posté par
simon92 17-06-08 à 16:32

Est-ce nécessaire de poster l'énoncé ? c'est la suite de :*: Suite 2 :*:
a_0, a_1, a_2,.., a_{2n}.

Trouver les a_0 tels que a_0^3+a_1^3+a_2^3+a_n^3=a_{n+1}^3+a_{n+2}^3+a_{n+3}^3+...+a_{2n}^3
la normalement j'ai pas fait d'erreur, mais rien n'est sur

On blank bonne chance
amusez vous bien

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 07:54

salut simon

Fais-nous tout de suite chercher la Suite N :

Citation :

4$ \textrm \red Trouver a_O en fonction de n et N tel que :

4$ \red a_0^N+a_1^N+a_2^N+...+a_n^N=a_{n+1}^N+a_{n+2}^N+a_{n+3}^N+...+a_{2n}^N

en demandant la relation de récurrence sur N

4$ \red a_0(N+1) = f( a_0(N), a_0(N-1),...,a_0(1) )    


Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 08:07

ça permet de upper ton topic -descendu dans les profonds abysses- pour le soumettre aux matinaux  

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 11:45

pour ma part, et ça fait un up de plus pour ce joli exo, simon-merci-, je trouve :

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qu'en penses-tu ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 11:49

Bonjour

mikayaou >

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Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 11:58

oui Arkhnor-bonjour- mais ça dépasse mes compétences

Posté par
matovitchre : * Suite 3 * 18-06-08 à 12:04

La seule parole de mika constitue pour moi une preuve irréfutable !
Intuitivement, je parie que c'est bon.
Désolé, pour le problème 6, j'ai bien essayé inverse symbolic caculator pour trouver les tangente mais ça n'a rien donné !

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 12:15

merci MV mais mon résultat est faux

16^3 + 17^3 + 18^3 n'est pas égal à 19^3 + 20^3

dommage

faut que je m'y replonge mais je n'ai pas le temps...

Posté par
matovitchre : * Suite 3 * 18-06-08 à 12:24

Il n'y a pas de solutions pour tout les n en fait.

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 12:25

cherchons déjà le problème de simon avec n=3...

Posté par
matovitchre : * Suite 3 * 18-06-08 à 12:29

Je parlais de petit n pas N, par exemple ça marche pas pour n = 2 :

4^3^+5^3 = 189 et 6^3 = 216
5^3+6^3 = 341 et 7^3 = 343
7^3+8^3 = 855 et 9^3 = 729 raté !

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 13:38

je trouve que a et n doivent vérifier :

a^3 - 3n²a² - 3n²(2n+1)a - 3n²(2n+1) - n²(7n²+6n+1)/2 = 0

et, sauf erreur, je ne trouve pas de solution a = f(n) entière...

Arkhnor peut-être ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 14:14

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Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 14:18

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Posté par
matovitchre : * Suite 3 * 18-06-08 à 14:53

Bonjour AK !
Je ne crois pas !

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 16:37

y'aurait donc pas de solution ?

d'autres intervenants, peut-être ?

Posté par
ThierryMasulare : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:08

Bonsoir mikayaou,

juste pour te dire qu'il y a une petite erreur dans l'équation postée à 13:38

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:09

ah merci TM

je m'y suis repris pourtant à 2 fois

y'aurait donc des solutions ?

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:10

à moins  d'une coquille j'ai :

a^3 - 3n²a² - 3n²(2n+1)a  - n²(7n²+6n+1)/2 = 0

c'est pas ça ?

Posté par
ThierryMasulare : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:12

La tête que tire l'expression des racines de la fameuse équation corrigée ne dit rien qui vaille... Je ne suis pas optimiste !

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:13

elles sont complexes ?

ou seulement réelles non entières ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:21

Par exemple, pour n = 3, il y a une racine réelle, et non entière, et deux complexes.

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:22

l'outil que tu utilises t'exprime-t-il a=f(n) comme solution ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:33

Je n'ai pas cherché l'expression exacte , je fais juste une étude de fonction, je localise la racine réelle unique, je vois qu'elle est comprise entre deux entiers, et qu'elle est de multiplicité 1. Du coup, comme l'équation est de degré 3, les deux autres racines sont complexes conjuguées.

Ca ne sert à rien de chercher la valeur exacte, vu qu'elle n'est pas entière, et ne satisfait donc pas au problème.

Je n'ai fais cette étude que pour des valeurs particulières de n, bien sur, il ya peut-etre un palier pour n, ou une condition quelconque, je ne sais pas.

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:42

en fait, je suis "monté" jusqu'à n=21 pour voir que quelques une étaient "presqu'entières"

je n'ai pas eu le courage d'aller plus loin...

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 17:46

Peut-etre que quand n tend vers l'infini, a tend vers une valeur entière

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:08

au fait AK, tu trouves également :

a^3 - 3n²a² - 3n²(2n+1)a  - n²(7n²+6n+1)/2 = 0 ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:10

C'est cela-même.

Posté par
ThierryMasulare : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:10

La nouvelle équation de mikayaou rejoint celle que j'ai trouvé.

3$\sum_{i=0}^n (a_0+i)^3=\sum_{j=1}^n (a_0+n+j)^3

3$\sum_{i=0}^n (a_0^3+3.i.a_0^2+3.i^2.a_0+i^3)=\sum_{j=1}^n ((a_0+n)^3+3.j.(a_0+n)^2+3.j^2.(a_0+n)+j^3)

3$\sum_{i=0}^n (a_0^3+3.i.a_0^2)=\sum_{j=1}^n ((a_0+n)^3+3.j.(a_0+n)^2+3.j^2.n)

3$a_0^3=\sum_{j=1}^n ((3.a_0^2.n+3.a_0.n^2+n^3)+3.j.(2.n.a_0+n^2)+3.j^2.n)

3$a_0^3=n.(3.a_0^2.n+3.a_0.n^2+n^3)+3.(2.n.a_0+n^2)\sum_{j=1}^n j+3.n\sum_{j=1}^n j^2

3$a_0^3=n.(3.a_0^2.n+3.a_0.n^2+n^3)+3.(2.n.a_0+n^2).\frac{n.(n+1)}{2}+3.n.\frac{n.(n+\frac{1}{2}).(n+1)}{3}

3$a_0^3=3.n^2.a_0^2+3.(2n+1).n^2.a_0+\frac{7n^2+6n+1}{2}n^2

on substitue u_0=a_0+n^2 pour obtenir une équation du troisième ordre sympathique

u_0^3-3n^2(n+1)^2u_0-2\{n(n+\frac{1}{2})(n+1)\}^2=0

J'obtiens comme relation (pour la racine réelle, les deux autres sont complexes!)

4$a_0=n^2+\sqrt[3]{(n+\frac{1}{2})+(\frac{n(n+1)}{2})^2\sqrt{2(2n+1)^2-1}}+\frac{n^2(n+1)^2}{\sqrt[3]{(n+\frac{1}{2})+(\frac{n(n+1)}{2})^2\sqrt{2(2n+1)^2-1}}}

Il faudrait encore simplifier mais je doute qu'il y ait des valeurs entières...

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:15

J'en ai eu assez des calculs a la main, j'ai rentré l'équation dans Maxima, et voila sa réponse :

x=({\left( 4\,{n}^{6}+12\,{n}^{5}+\sqrt{8\,{n}^{2}+8\,n+1}\,\left( {n}^{4}+2\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) +13\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) }^{\frac{2}{3}}+{4}^{\frac{1}{3}}\,{n}^{2}\,{\left( 4\,{n}^{6}+12\,{n}^{5}+\sqrt{8\,{n}^{2}+8\,n+1}\,\left( {n}^{4}+2\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) +13\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) }^{\frac{1}{3}} \atop +{4}^{\frac{2}{3}}\,{n}^{4}+2\,{4}^{\frac{2}{3}}\,{n}^{3}+{4}^{\frac{2}{3}}\,{n}^{2})/({4}^{\frac{1}{3}}\,{\left( 4\,{n}^{6}+12\,{n}^{5}+\sqrt{8\,{n}^{2}+8\,n+1}\,\left( {n}^{4}+2\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) +13\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}+{n}^{2}\right) }^{\frac{1}{3}})

On arrête la ?

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:16

Okay, ThierryMasula, tu as appliqué la méthode de Cardan, j'ai pas osé moi

Posté par
ThierryMasulare : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:24

J'ignorais le nom de la méthode, merci.

Après lecture en diagonale de la méthode de Cardan trouvée sur Wikipédia, je confirme.

Posté par
mikayaoure : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:26

merci à tous les deux

Posté par
simon92re : * Suite 3 * 18-06-08 à 18:57

finalement vous avez une solution ?

Posté par
simon92re : * Suite 3 * 18-06-08 à 19:16

pour info, il y une méthode dans celui qui évite cardan et tout le calcul ultra bourrin (enfin je crois )

Posté par
Arkhnorre : * Suite 3 * 18-06-08 à 19:21

Et tu as trouvé une solution entière ? Sans conditions sur n

Posté par
simon92re : * Suite 3 * 18-06-08 à 19:25

Hop un petit indice, après vous me direz si vous trouvez

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Posté par
simon92re : * Suite 3 * 18-06-08 à 19:26

en plus beau, pour l'indice

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Posté par
simon92re : * Suite 3 * 21-06-08 à 16:49

je up, parce que l'indice aide bien, peut-être que certain ne l'ont pas vu.

Posté par
jandri Correcteurre : * Suite 3 * 21-06-08 à 22:44

Bonsoir à tous.
Quand on cherche à généraliser à un entier >2, a0 n'est plus entier mais il vérifie quand même une propriété intéressante:

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