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Posté par amateuriste (invité) 01-05-05 à 16:52

Bonjour,

je n'arrive pas à résoudre cet exercice pouvez vous m'aider svp?

U suite et la relation de récurrence
Un+1= 2Un+3/Un+4

V la suite definie par Vn= Un-1/Un-3

1) il faut montrer que v est une suite géométrique dont il faut préciser le premier trme V0 et la raison.
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 16:55

Bonjour

Il te suffit de démontrer que \frac{V_{n+1}}{V_{n}} est un rapport constant quelque soit n . n'y arrives-tu pas ?


jord

Posté par amateuriste (invité)Nightmare (Modérateur) 01-05-05 à 17:01

Merci nightmare mais pourrais tu me détailler ton résonnement stp?

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 17:03

Re

Eh bien supposons que l'on ait montré que le rapport \frac{V_{n+1}}{V_{n}} est constant , c'est à dire qu'il existe un réel q non nul indépendant de n tel que \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=q . Cette derniére égalité peut aussi s'écrire :
V_{n+1}=qV_{n}

Donc (Vn) serait géométrique de raison q


jord

Posté par amateuriste (invité)Nightmare (Modérateur) 01-05-05 à 17:19

Je trouve
Vn+1= (Un-1)*(5Un+15) mais après je bloque pour montrer que c'est une suite géométrique

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 17:39

Comment trouves tu ce résultat ?

3$\rm V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}-3}
donc :
3$\rm V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}-3}

or :
3$\rm U_{n+1}=\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}

Ainsi :
3$\rm V_{n+1}=\frac{\;\;\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}-1\;\;}{\;\;\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}-3\;\;}
<=>
3$\rm V_{n+1}=\frac{\;\;\frac{2U_{n}+3-U_{n}-4}{U_{n}+4}\;\;}{\;\;\frac{2U_{n}+3-3U_{n}-12}{U_{n}+4}\;\;}
<=>
3$\rm V_{n+1}=\frac{U_{n}-1}{-U_{n}-9}

Donc :
3$\rm \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{U_{n}-1}{-U_{n}-9}\times\frac{U_{n}-3}{U_{n}-1}
ie :
3$\rm \fbox{\fbox{\red\frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{U_{n}-3}{-U_{n}-9}}}

Ce rapport n'est pas constant . Un probléme dans l'énoncé ?


jord

Posté par amateuriste (invité)re : Suite 01-05-05 à 17:44

je trouve ceci
Vn+1= Vn*5 avec 5 la raison et Vo=-1/3
Il faut exprimer Vn en fonction de n
Pouvez vous m'aider svp?
merci d'avance

Posté par amateuriste (invité)re : Suite 01-05-05 à 17:47

oui excuse moi night mare ce n'est pas Un-3 mais Un+3

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 18:01

Daccord , donc je reprends sans l'erreur :

I]Montrer que (Vn) est arithmétique

3$\rm V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+3}

\rm par consequent :

3$\rm V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+3}

\rm or :

3$\rm U_{n+1}=\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}

\rm ainsi :

3$\rm V_{n+1}=\frac{\;\;\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}-1\;\;}{\;\;\frac{2U_{n}+3}{U_{n}+4}+3\;\;}

\Longleftrightarrow

3$\rm V_{n+1}=\frac{\;\;\frac{2U_{n}+3-U_{n}-4}{U_{n}+4}\;\;}{\;\;\frac{2U_{n}+3+3U_{n}+12}{U_{n}+4}\;\;}

\Longleftrightarrow

3$\rm V_{n+1}=\frac{U_{n}-1}{5U_{n}+15}

\rm donc :

3$\rm \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{U_{n}-1}{5U_{n}+15}\times\frac{U_{n}+3}{U_{n}-1}

\rm ie :

3$\rm \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{U_{n}+3}{5\(U_{n}+3\)}

\rm il advient :

3$\rm \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{1}{5}


\rm Au final :

4$\rm \blue\fbox{\fbox{V_{n+1}=\frac{1}{5}V_{n}}}

On en déduit que (Vn) est une suite géométrique de raison 3$\rm\red\frac{1}{5}

II]Donner son terme général

Le premier terme de (Vn) est :

3$\rm \blue V_{0}=-\frac{1}{3}

Or , pour tout n naturel :

3$\rm V_{n}=V_{0}\times q^{n} ,
q étant la raison de (Vn)

Ainsi on en conclut :
4$\rm \red \fbox{\fbox{V_{n}=-\frac{1}{3}\times\(\frac{1}{5}\)^{n}}}


Jord

Posté par amateuriste (invité)re : Suite 01-05-05 à 18:02

Pouvez vous m'aider svp?

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 18:03

Oups pardon , bien sur pour le I] je voulais mettre :

I]montrer que (Vn) est géométrique


jord

Posté par amateuriste (invité)re : Suite 01-05-05 à 18:05

b) En déduire Un en fonction de n?

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 18:08

Réfléchis un petit peu , je ne vais pas te faire tout ton exercice !!

Je t'aide à démarrer :

tu as pour tout n naturel :

3$\rm V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+3}

Or , je viens de prouver que :

3$\rm V_{n}=-\frac{1}{3}\times\(\frac{1}{5}\)^{n}

Par conséquent :

3$\rm\frac{U_{n}-1}{U_{n}+3}=-\frac{1}{3}\times\(\frac{1}{5}\)^{n}

A toi de te débrouiller pour arriver à quelquechose sous la forme 3$\rm U_{n}=f(n)

Ce n'est pas dur


jord

Posté par amateuriste (invité)re : Suite 01-05-05 à 18:27

j trouve Un=-1/3*(1/5)n*(Un+4)

Posté par
Nightmarere : Suite 01-05-05 à 18:29

Je ne sais pas si le calcul en lui même est juste , mais ce que je sais c'est que tu ne réponds pas à la question étant donné que tu as Un dans les deux membres de ton égalité donc il y a un probléme .

Pour faciliter tes calculs si tu veux , essayes plutot de partir de :

3$\rm \frac{U_{n}-1}{U_{n}+3}=V_{n}
et essaye de mettre Un en fonction de Vn


jord


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