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Posté par Mirar (invité) 30-04-06 à 08:06

Bonjour
Voilà j'ai un petit soucis avec une suite il faut que je montre que 2^n/n² est supérieur à 1 mis je ne sais pas comment faire si vous pouvez m'aider ça serait gentil de votre part. Merci d'avance.

Posté par re : Suite 30-04-06 à 08:15

Bonjour,

Ce résultat est faux en général. Prends par exemple n=3.

Nicolas

Posté par re : Suite 30-04-06 à 08:27

N'y a-t-il pas une condition du type "pour n supérieur à ..." ?
N'y a-t-il pas des questions avant pour aider ?

Posté par re : Suite 30-04-06 à 08:39

Bon...

Montrons $\fbox{\mathrm{pour tout}\; n\ge 4,\; \frac{2^n}{n^2}\ge 1}$

Pour $n\ge 1$ , on pose $u_n=\frac{2^n}{n^2}$

On veut d'abord montrer que cette suite est croissante à partir d'un certain rang.
$u_{n+1}-u_n=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2}-\frac{2^n}{n}=2^n\,\frac{2n^2-(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=2^n\,\frac{n^2-2n-2}{n^2(n+1)^2}=2^n\,\frac{[n-(1-\sqrt{2})][n-(1+\sqrt{2})]}{n^2(n+1)^2}$
Cette grandeur est positive pour $n\ge 1+\sqrt{2}$ (faire un tableau de signes). Or $1+\sqrt{2}\simeq 2,4$ . Cette grandeur est donc positive pour $n\ge 3$ .
La suite $(u_n)_{n\ge 1}$ est donc croissante pour $n\ge 3$ .
Or $u_4=\frac{2^4}{4^2}=1$
Donc, pour tout $n\ge 4$ , $u_n\ge 1$
CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

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