Salut

Je ne suis pas sur d'avoir tout copris mais ce que tu cherche, c'est ça :

non, c'est la somme de chaque chiffre du nombre 66666....6 (2001 de 6) au carre.

Merci

6^2 = 36 -> la somme egale 9
66^2 = 4356 -> la somme egale 18
666^2 = 443556 -> la somme egale 27
etc.

Bonjour,

Idée de départ :
66...66²   =   44..44     3     55..55   6
n fois 6       (n-1)fois 4     (n-1)fois 5

rajouter un 6 au nombre revient à rajouter un 4 et un 5 donc 9 à son carré => suite arithmétique que tu as supposée.

Nota : l'expression précedente 66...66²   =   ... doit pouvoir se démontrer par récurrence

Philoux

666² = 443556
6666² = 44435556
66666² = 4444355556

On constate que le carré du nombre composé de n fois le chiffre 6 commence par (n-1) fois le chiffre 4 suivi de 3 suivi de (n-1) fois le chiffre 5 et terminé par 6 ->
La somme des chiffres = (n-1).4 + 3 + (n-1).5 + 6
= 4n - 4 + 3 + 5n - 5 + 6 = 9n

-> La somme des chiffres du nombre obtenu en élevant le nombre constitué de 2001 fois le chiffre 6 est de 9*2001 = 18009
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Sauf distraction.  

Oui mais y a-t-il une autre maniere a part la pure constatation ?


Merci

Car comment on prouve que la somme des chiffres = (n-1).4 + 3 + (n-1).5 + 6 = 4n - 4 + 3 + 5n - 5 + 6 = 9n ?
N'y a-t-il pas un autre moyen a part la constation ?

Justin

Par récurrence.

On commence par faire ce que j'ai fait dans ma première réponse.
Ensuite, on émet la conjecture que: La somme des chiffres du nombre obtenu en élevant le nombre constitué de n fois le chiffre 6 est de 9n

On démontre que cette conjecture est vraie.
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Supposons que pour X comportant n chiffres 6, la somme des chiffres de X² est 9n

Avec un 6 en plus, on obtient le nombre Y (au lieu de X) tel que:

Y = 10X + 6

-> Y² = (100X²) + 36

La somme des chiffres de 100X² et la même que la somme des chiffres de X² (puisque 100X² est obtenu en ajoutant 2 zéro à X²)

-> La somme des chiffres de Y² est 9n + (3 + 6) = 9n + 9 = 9(n+1)

Donc si la somme des chiffres de X² (X comportant n chiffres 6) est 9n, on a aussi que:
la somme des chiffres de Y² (Y comportant (n+1) chiffres 6) est 9(n+1)

Comme Pour n = 1, on a 6² = 36 -> la somme des chiffre = 9 qui est bien = à 9n,
C'est encore vrai pour n = 2

Comme c'est vrai pour n = 2, c'est encore vrai pour n = 3
Et ainsi de proche en proche, c'est vrai pour tout n de N.
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Sauf distraction.  

super cool

merci beaucoup

Attention que ce que j'ai écrit est archi faux:

Soit :
Y = 10X + 6

-> Y² = (100X²) + 36  

La somme des chiffres de 100X² et la même que la somme des chiffres de X² (puisque 100X² est obtenu en ajoutant 2 zéros à X²)
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Avec Y = 10X + 6
on a évidemment:
-> Y² = (100X²) + 120X + 36

Et donc je n'ai rien démontré du tout.

a ben m*r*e alors !!! c'est trop bete !

Ce probleme m'interresse beaucoup, je vais donc essayer de chercher bienqu'une solution serait tres appreciee !!

Justin

Bonjour à tous.
Je viens de jeter un oeil sur cet exercice.
Moi, il me vient une idée qui, je crois, peut être creusée.
Si on pose avec n chiffres 6, il vient avec n chiffres 1.  On pose alors .  Il faut alors chercher la somme des chiffres de .
Or, (somme des n premiers termes de la s.g. et de raison 10) .
Ouf, j'y suis arrivé!
Ainsi, .
Or, avec 2n chiffres 0, avec n chiffres 0.  Dès lors, avec n-1 chiffres 9, 1 chiffre 8 et n chiffres 0 et donc avec n-1 chiffres 9, 1 chiffre 8, n-1 chiffres 0 et 1 chiffre 1.
Soit c-à-d 9 et n chiffres 0 dont on soustrait 9...9 avec n chiffres 9 et donc avec qui est 4 fois le nombre 8...89 avec n-1 chiffres 8 et le chiffre 9.  Ce produit donne 35...56 avec n-1 chiffres 5.
On rassemble le tout et on obtient : avec n-1 chiffres 4, n-1 chiffres 5, le chiffre 3 et le chiffre 6.  La somme des chiffres vaut alors (n-1).(4+5)+3+6=9(n-1)+9=9n.

Bonjour,

Merci ma_cor pour cette démonstration.
C'est vraiment dommage que le début de démonstration de J-P n'ait pu aboutir d'autant plus que, malheureusement,
Somme des chiffres de (a+b) Somme des chiffres de (a) + Somme des chiffres de (b) à cause des retenues
(Somme des chiffres de (11)=2, Somme des chiffres de (19)=10, Somme des chiffres de (11+19=30)=3 2+10=12)

Je ne suis cependant toujours pas convaincu qu'on ne puisse pas y arriver.
S'il y en a que ça stimule, je suis preneur de la démonstration par récurrence...

A+

Philoux

Autre question : il n'est pas possible de mettre un symbole en gras ? (la succession des [ b ][ smb ][ /smb ] [ /b ] ne semble pas aboutir)

Bonjour.
Pour la récurrence, il faut énoncer le problème différemment.
En effet, l'exercice fait intervenir la somme des chiffres et comme le dit philoux, à cause des reports, il y a complication.
L'exercice serait alors : montrer que si , nombre composé de n chiffres 6, n>0, alors où a...a est composé de n-1 chiffres a.  Ainsi, la somme des chiffres de est (n-1).(4+5)+(3+6)=9(n-1)+9=9n.  Alors la récurrence peut s'appliquer.
Par ce qui a été dit ci-avant, le nombre s'écrit bien avec 1-1=0 chiffre 4, 1-1=0 chiffres 5, 1 chiffre 3 et 1 chiffre 6 et la somme de ses chiffres vaut 3+6=9=9.1.
De même, s'écrit avec 2-1=1 chiffre 4, 2-1=1 chiffre 5, 1 chiffre 3 et 1 chiffre 6 et donc la somme des chiffres vaut 4+3+5+6=18=9.2.
Supposons que où a...a est composé de n-1 chiffres a et la somme des chiffres est 9n.  Il faut montrer que où a...a est composé de n chiffres a et la somme de ses chiffres est 9(n+1).
On a :
.  Alors, .
Il faut analyser ce nombre :   avec a...a est composé de n-1 chiffres a (hyp. récur.); .  Il reste .  On a : avec n chiffres 6 et n-1 chiffres 3, ce qui donne avec n-1 chiffres 9.
Ainsi, toujours avec a...a composé de n-1 chiffres a.  On a donc la somme :
4...435...5600
        79...956
4...4435..5556
et donc est un nombre composé de n chiffres 4, n chiffres 5, 1 chiffre 3 et 1 chiffre 6.  La somme des chiffres donne n.(4+5)+(3+6)=9n+9=9(n+1).
Et voilà.

Bonjour,

Effectivement, on y arrive; c'est un peu laborieux et on ne coupe pas à trimbaler les 4...4 et 5...5 (ce que je voulais éviter).
Le principal étant de parvenir à utiliser la récurrence, merci encore.

Philoux