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suite arithmétique

Posté par momo62120 (invité) 07-03-05 à 19:53

Bonjour je bloque sur cette exercice, pouvez-vous m'aidez, je vous remercie d'avance !

Soit (Un) la suite définie par U0=-1 et pour tout entier naturel n , Un+1= (4Un)/(4-Un), on appelle (Vn) la suite de terme général Vn= (3Un+2)/(Un)

1. Conjecturer le sens de variation de la suite (Un) à l'aide d'une représentation en chemin de ses 5 premiers termes.

2.Démontrer que la suite (Vn)est arithmétique.

3.Exprimer Vn, puis Un en fonction de n.

4. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.

Je vous remercie

Posté par
Nightmarere : suite arithmétique 07-03-05 à 20:25

Bonjour

\begin{tabular}V_{n+1}&=&\frac{3U_{n+1}+2}{U_{n+1}}\\&=&\(\frac{12U_{n}}{4-U_{n}}+2\)\times\frac{4-U_{n}}{4U_{n}}\\&=&3+\frac{4-U_{n}}{2U_{n}}\end{tabular}

On en déduit :
\begin{tabular}V_{n+1}-V_{n}&=&3+\frac{4-U_{n}}{2U_{n}}-\frac{3U_{n}+2}{U_{n}}\\&=&3+\frac{4-U_{n}-6U_{n}-4}{2U_{n}}\\&=&3+\frac{-7U_{n}}{2U_{n}}\\&=&3-\frac{7}{2}\\&=&-\frac{1}{2}\end{tabular}

On en conclut :
V_{n+1}=V_{n}-\frac{1}{2}
donc Vn est arithmétique de raison -\frac{1}{2}

3) On sait que Vn est arithmétique de raison -1/2. Donc on a :
V_{n}=V_{0}-\frac{1}{2}n
Il te faut donc calculer V0 et tu obtiendras l'expression de Vn

Ensuite pour Un il te suffit d'utiliser la relation donnée entre Vn et Un

Bon courage ( une étourderie peu peut-être s'être glissé dans mes calculs successifs . Ne néglige pas la relecture )

Jord


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