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suite arithmétique et géométriques
un groupe de médecins loue un local à partir du 1er janvier 2002.
il ale choix entre 2 formules de contrat. ds les 2 cas le loyer annuel est 24 000 euros et il s'engage à occuper le local pendant 9 années complètes.
1.contrat 1
on note u0 le loyer payé la première année. le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l'année précédente.
a) calculer le loyer u1 payé lors de la 2e année.
j'ai trouver: u1=24000*1.05
u1=25200
est ce juste?
apre je ne c pa faire pourriez vs m'aider merci
b) exprimer le loyer un+1 (payé lors de la (n+2)ième année en fonction du loyer un(payé lors de la (n+1)ième année).
en déduire que la suite (un) est uen suite géometrique dt on précisera le premier terme et la raison.
exprimer un en fonction de n. calculer u8.
c) calculer la somme totale payée à l'issue des neuf années de contrat.
2.contrat 2
on note v0 le loyer payé la première année. les locataires acceptent une augmentation annuelle forfaitaire de 1 500 euros du loyer de l'année précédente.
a) calculer le loyer v1 payé lors de la deuxième année: v1=24000+1500=25500 est ce juste
b) exprimer le loyer vn+1 en fonction de loyer vn. en déduire que la suite (vn) est uen suite arithmétique dt on précisera le premier terme et la raison.
exprimer vn en fonction de n. calculer v8.
c) calculer la somme totale payée à l'issue des neufs années de contrat.
3. quel est le contrat le plus avantageux pr le locataire?
a) calculer le loyer u1 payé lors de la 2e année.
u1=u0+0.05 uno= u0(1.05)=24000*1.05
u1=25200
OK POUR MOI
b) exprimer le loyer un+1 (payé lors de la (n+2)ième année en fonction du loyer un(payé lors de la (n+1)ième année).
Un+1=Un+Un*0.05=Un (1,05)
en déduire que la suite (un) est uen suite géometrique dt on précisera le premier terme et la raison.
Un+1/Un=U1/U0= 1.05
Un est une suite géométrique de raison q=1.05
et de premier terme u0=24000
exprimer un en fonction de n.
Un=U0(1.05)^n=24000 (1.05)^n
calculer u8.
U8= 24 000 (1.05)^8=........
c) calculer la somme totale payée à l'issue des neuf années de contrat.
S8= U0+U1 +u2++++++ un7+ U8
= U0 +U0*q +U0*q^²+....... U0q^8
=u0(1+q+q^²+ ....+q^7+q^8)
= U0(1- q^8) 24 000(1-1.05^8) 24000 (1-1.477)
-----------= ---------------= ----------------=
1-q 1-1.05 -0.05
24 000(-0.477)
--------------= 11 448/0.05= 228 960
- 0.05
vérifiez ce résultat en calculant u0, u1 etc, u7,u8
et faire l'addition pour vérifier
on note v0 le loyer payé la première année. les locataires acceptent une augmentation annuelle forfaitaire de 1 500 euros du loyer de l'année précédente.
a) calculer le loyer v1 payé lors de la deuxième année:
V1= VO+ 1500=24000+1500=25500
OUI OK POUR MOI
V2= V1 + 1500= V0+ 1500 +1500= V0+ 2*1500
etc (cà c'est pour pour m'aider
b) exprimer le loyer vn+1 en fonction de loyer vn.
Vn+1=Vn +1 500
en déduire que la suite (vn) est uen suite arithmétique dt on précisera le premier terme et la raison.
Vn+1-Vn=V1-V0= 1 500
suite aithmétique de raison r=1 500 et de premier terme Vo=24 000
exprimer vn en fonction de n.
Vn= V0 + nr= 24 000 + 1500*n
calculer v8.
V8= 24 000 + 1500 * 8= 24 000 +12 000 = 36 000
c) calculer la somme totale payée à l'issue des neufs années de contrat.
C8=V0+V1+V2+.....V7+V8=
V0+ V0+r+V0+2r+V0+3r +++++ Vo+8r=
8*V0 + r+ 2r+ 3r+ 4r+....8r=
ensuite je ne suis plus sûre voir cours sur les suites
je crois que
C8(somme des 8 preemiers termes d'une suite aritmétique=
8(u0+u8)/2=4 (24000+36000)=4*60 000= 240 000
à vérifier dans le cours et comme tout à l'heure
caluculez v1,V2 ...... v7, V8 et additionner
3. quel est le contrat le plus avantageux pr le locataire?
comparer S8 et C8, les sommes totales versées dans les 2 formules et prendre la formule où sur les 8 ans on a versé le moins d'argent.
nous avons Vn=Vo+nr donc
Cn = Vo +V1+ ... +Vn-1+Vn
Cn = Vo + Vo + r + ... +Vo+(n-1)r+Vo+nr
Cn = Vo+nr + Vo +(n-1)r + ...+ Vo+r+Vo (si on l'écrit dans l'autre sens)
En additionnant les deux lignes précédentes , on trouve que :
2Cn = (2Vo+nr)+(2Vo+nr)+...+(2Vo+nr)+(2Vo+nr (n+1 fois !) donc
2Cn = (n+1)(Vo+Vo+nr)
Cn=(n+1)(Vo+Vn)/2=
C8= 9/2 (24 000+36 000)= 4.5*60 000=270 000
Cn=(nombre de termes)(premier terme + dernier terme)/2
A vérifier come tout à l' heure
Si C0+C1+C2+....+C8= 270 000
A priori, S8<C8 contrat 1 + intéressant pour les locataires.
calcul del somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique en l'occurence
S8= somme des 9 premiers termes
Sn= U0+U1 +u2++++++ un-1+ Un
Sn= U0+qU0+ q²UO+q^3U0+... + q^(n-1)U0+q^nUO
calculons
qSn= qU0 + q²UO+q^3U0+... + q^(n-1)U0+q^nUO+q^(n+1)U0
on enlève qSn à Sn
Sn-qSn= U0 - U0q^(n+1) beaucoup de termes s'éliminent
on met à gauche (1-q) en facteur
on met à droite U0 en facteur
on a
Sn (1-q)= U0(1-q^(n+1))
Sn= U0 (1-q^(n+1))
---------------
1-q
S des n+1 premiers termes=
1er terme *1-q(puiss nombre de termes)
--------------------------------------
1- q
on remplace
S8= 24000 (1-1.05^9)
----------------
1-1.05
S8= 24000 (1-1.551) 24 000(-0.551)
---------------= ---------------=
-0.05 -0.005
S8= 480 000 (0.551)=264637,5437
On vérifie
u0 24000
u1 25200
u2 26460
u3 27783
u4 29172,5
u5 30630,75
u6 32162,29
u7 33770,41
u8 35458,93
somme=S8= 264637,88
C'est effectivement cela
on conclut que S8<C8
Et voilà. Si questions me contacter
= U0 +U0*q +U0*q^²+....... U0q^8
=u0(1+q+q^²+ ....+q^7+q^8)
= U0(1- q^8) 24 000(1-1.05^8) 24000 (1-1.477)
-----------= ---------------= ----------------=
1-q 1-1.05 -0.05
24 000(-0.477)
--------------= 11 448/0.05= 228 960
- 0.05
par quelle valeur remplace t-on un+1/un ds la question 1b) en déduire que c'est une suite géométrique??? merci beaucoup de votre aide
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