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Suite, conjecture, convergence et limite

Posté par Frip44 (invité) 06-05-05 à 10:37

Bonjour à tous amis Mathiliens...

Voilà un petit problème sur les suite (encore et toujours ) et j'aurais besoin de votre aide...

Soit (U_n) la suite définie, pour tout entier n, par :

U_0=\frac {1}{2} et U_{n+1}=\sqrt {U_n}

1°) Illustrer graphiquement le processus de génération des termes de la suite (U_n) et faire une conjecture sur la limite éventuelle de la suite(U_n).

==>> U_0=\frac {1}{2}, U_1=\frac {1}{4}, U_2=\frac {1}{16}, U_3=\frac {1}{256}, U_4=\frac {1}{65536}, donc la suite aurait pour limite 0...
Mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode...

2°) Démontrer que si \frac {1}{2} \le x < 1, alors \frac {1}{2} \le \sqrt {x} < 1
En déduire successivement que, pour tout entier n :

\frac {1}{2} \le U_n < 1 et, \frac {1-U_{n+1}}{1-U_n}=\frac {1}{\sqrt {U_n}+1} \le \frac {2}{3}
puis, 1-U_n \le \frac {1}{2}(\frac {2}{3})^n

3°) En déduire que la suite (U_n) converge vers un réel que l'on précisera.

Voili voilà, si vous pouviez vérifier la conjecture de la question 1°) et m'aider pour la 2°) et 3°), ce serait super sympa !!

D'avance merci de votre aide...

++
(^_^)Fripounet(^_^)


Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 10:52

Oulaaaa, désolé, ma conjecture est totalement fausse, je me suis totalement trompé, U_0=\frac {1}{2}, U_1=0.7...etc....
(U_n) a plutôt pour limite 1
Désolé

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 10:58

Bonjour,

je lis Un+1=V(Un) -->V=racine carrée

donc U1=V(U0)=V(1/2)=1/V2=V2/2 et non 1/4.

Tu as élevé au carré au lieu de prendre la racine carrée, non?

U2=V(U1)=V(V2/2), etc.

Une conjecture (ave la calculatrice) donne :

limite éventuelle de Un=1

D'ailleurs la 2) te demande de montrer que :

Un > ou = à 1-(1/2)(2/3)^n qui tend vers 1 quand n-->+inf

Revois tes calculs.

A+

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 10:59

Je pense avoir trouvé pour le début du 2°) :

\frac {1}{2} \le x < 1, or la fonction racine carré qui à tout x associe \sqrt {x} est strictement croissante sur [0;+\infty[, donc sur [\frac {1}{2};1],
d'où :
si \frac {1}{2} \le x < 1, alors \sqrt {\frac {1}{2}} \le \sqrt {x} < \sqrt {1}
or, \frac {1}{2}<\sqrt {\frac {1}{2}},
donc, \frac {1}{2} \le \sqrt {x} < \sqrt {1}

Est-ce bon ??

Merci de votre aide...

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:02

Merci beaucoup Papy Bernie :), mais pour :
"D'ailleurs la 2) te demande de montrer que :

Un > ou = à 1-(1/2)(2/3)^n qui tend vers 1 quand n-->+inf",

Ne serait ce pas plutôt "Un < ou =" ??? dans ce cas, on applique le téorème des "gendarmes" non ??

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:12

2) Montrer que si 1/2<<x<<1  (<< veut dire < ou = et V=racine carrée)

alors :

1/2<<Vx<<1 (1)

On va partir de (1) que l'on élève au carré :

1/4<<x<<1 (2)

On part de (2) dont on extrait la racine carrée :


1/2<<Vx<<1 (3)

Si 2) est vérifiée, alors 3) est vérifiée

mais on peut  remplacer 2)  par :

1/2<<x<<1 (4) ( car si x>>1/2 , alors x>>1/4)

Donc si 4) est vérifiée, alors 3) est vérifiée.

Donc si : Un+1=V(Un) on a :

1/2<<Un<<1 puisque l'on prend successivement des racines de nbs compris entre 1/2 et 1.

J'envoie ça déjà.

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:15

Pour le \frac {1-U_{n+1}}{1-U_n}= \frac {1}{\sqrt {U_n}+1} \le \frac {2}{3}, j'ai trouvé que :

\frac {1-U_{n+1}}{1-U_n}= \frac {1-\sqrt {U_n}}{1-U_n}= \frac {(1-\sqrt {U_n})(1+\sqrt {U_n})}{(1-U_n)(1+\sqrt {U_n})}= \frac {(1-U_n)}{(1-U_n)(1+\sqrt {U_n})}=\frac {1}{1+\sqrt {U_n}}

Mais après, je n'arrive pas à montrer que c'est \le \frac {2}{3}...

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:15

pour répondre à ta question, quand on te dit :

1-Un<<(1/2)(2/3)^n,

tu fais passer Un à droite et (1/2)(2/3)^n à gauche et tu as bien :

Un > ou = à 1-(1/2)(2/3)^n : NON?

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:19

Ah vi en effet, j'ai fais ça, mais je n'ai pas fait attention au signe....désolé...

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:22

Donc tu arrives à :

1/(1+Un) mais tu sais que :

1/2<<Un<<1

donc 1/2 + 1 <<1+Un<<1+1

soit 3/2<<1+Un<<2

et en inversant (dans ce cas, on change le sens des inégalités) :

1/2<<1/(1+Un)<<2/3

Non?

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:24

Lire :

1/(1+V(Un)) et non 1/(1+Un)

mais tu sais que 1/2<<V(Un)<<1

suite sans changement..

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:29

Okidoki, merci beaucoup Papy Bernie !!! *

Et pour 1-U_n \le \frac {1}{2}(\frac {2}{3})^n, j'imagine qu'on déduis ça sans problèmes des égalités pércédentes...

Merci beaucoup, ce n'est pas mon jour, je multiplie les fautes niveau collège...

++
(^_^)Frip'

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:34

Non, je me suis  mélangé les pinceaux :

on a :

1/2<<Un<<1

soit 1/V2<<V(Un)<<1

Soit V2/2<<V(Un)<<1

Soit 1+ V2/2 <<1+V(Un)<<1+1 et on inverse :

1/2<<1/(1+V(Un)<<2/(1+V2)

mais 2/(1+V2)<2/3

donc 1/2<<1+V(Un)<2/3

A voir...

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:36

Eh bien non, c'est faux car 1/(1+V2) n'est pas <2/3!!

Désolé.

A revoir.

Posté par
Papy Berniere : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:40

Je vais trop vite . J'arrivais à :

1/2<<1/(1+V(Un))<<2/(2+V2)

et 2/(2+V2) est bien <2/3

donc 1+V(Un)<2/3

Ouf!

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:47

Oula, vi c'est bien ça !! Vous avez mis 1/(1+V2) c'était 2/(1+V2) !!

Merci beaucoup !!

Posté par Frip44 (invité)re : Suite, conjecture, convergence et limite 06-05-05 à 11:47

Oups moi aussi, 2/(2+V2) c'est mieux !!


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