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suite convergentes pour demain

Posté par dorastella (invité) 10-05-05 à 20:19

bonsoir , je n'aarive pas a faire une demonstration et j'au rai besoin d 'un peu d'aide s'il vous plait.

soit U la suite définie par n appartenant a N* par Un=1/n²
1/ démontrez a partir de la définition d'une suite convergente que U converge vers 0

définition : l appartenant a R .dire qu'une suite U converge vers l signifie que tt intervale ouvert contenant l contient tt les termes de la suite U a partir d'un ceratin rang .

2/ soit V la suite définie pour n appartenant a N* par Un=cos(n*pi/4)/2n
etudiez la convergence de la suite U

merci beaucoup pour votre aide  

Posté par
H_aldnoerre : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 20:52

slt


3$\rm il s'agit de trouver un intervalle centre en l contenant tous les termes de la suite
3$\rm c a d qu'a partir d'un rang n on aura U_n\in]l-\alpha;l+\alpha[


@+ sur l' _ald_

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 21:48

Bonjour

Il s'agit de démontrer que :
--------------------------------------------

3$\rm \forall \epsilon>0 , \exist N\in\mathbb{N} , \forall n\in\mathbb{N}* , \(n\ge N\Longrightarrow |U_{n}-0|\le \epsilon\)

-------------------------------------------
Prenons :
3$\rm N=E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\) (j'ai pas trouvé plus simple )

On a alors :
3$\rm n\ge N
\Longleftrightarrow
3$\rm n\ge E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\)
\Longleftrightarrow
3$\rm \frac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{\[E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\)\]^{2}}
------------------------------------------

\rm Or :
3$\rm E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\)\ge \sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1-1
\rm ie :
3$\rm E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}\)+2\)\ge \sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}
\rm il advient :
3$\rm \[E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)+1\)\]^{2} \ge E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)

------------------------------------------
cependant :
3$\blue\rm E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)\ge \frac{1}{\epsilon}+2-1=\frac{1}{\epsilon}+1
soit :
3$\blue\rm E\(\frac{1}{\epsilon}+1\)\ge \frac{\epsilon+1}{\epsilon}

On a alors en combinant les inégalités :
3$\red\rm\[E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)+1\)\]^{2}\ge\frac{\epsilon+1}{\epsilon}
il s'ensuit :
3$\red\rm \frac{1}{\[E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\)\]^{2}}\le \frac{\epsilon}{\epsilon+1}

------------------------------------------
En outre :
3$\rm \frac{\epsilon}{\epsilon+1}-\epsilon=\frac{\epsilon-\epsilon\(\epsilon+1\)}{\epsilon+1}=-\frac{\epsilon^{2}}{\epsilon+1}\le 0
ainsi :
3$\rm \frac{\epsilon}{\epsilon+1}\le \epsilon
Et donc :
3$\rm\frac{1}{\[E\(\sqrt{E\(\frac{1}{\epsilon}+2\)}+1\)\]^{2}}\le \epsilon
Soit au final :
3$\rm \frac{1}{n^{2}}\le\epsilon
Ou encore :
3$\rm |U_{n}-0|\le\epsilon

---------------------------------------------

Nous venons ainsi de démontrer que 3$\rm \forall \epsilon>0 , \exist N\in\mathbb{N} , \forall n\in\mathbb{N}* , \(n\ge N\Longrightarrow |U_{n}-0|\le \epsilon\) c'est à dire que
5$\rm \blue\fbox{\fbox{U_{n} converge vers 0}}



Jord

Posté par
H_aldnoerre : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:00

re


pour un eleve de premiere Nightmare tu y va un peu fort

3$\rm \red A-t-on a partir d'un certain rang n U_n\in]0-\alpha;0+\alpha[ , l etant donne

3$\rm\blue il s'agit de resoudre :

3$\rm\begin{tabular}0-\alpha\le U_n\le0+\alpha&\Leftrightarrow&-\alpha\le U_n\le\alpha\\&\Leftrightarrow&-\alpha\le\frac{1}{n^2}\le\alpha\end{tabular}

3$\rm \magenta-\alpha\le\frac{1}{n^2} toujours verifier car \alpha\in\mathbb{R} et n\in\mathbb{N}

3$\rm \magenta reste a resoudre :\begin{tabular}\frac{1}{n^2}\le\alpha&\Leftrightarrow&n^2\ge\frac{1}{\alpha}\\&\Leftrightarrow&\fbox{n\ge\sqrt{\frac{1}{n}}\end{tabular}

3$\rm conclusion : a partir du rang superieure \sqrt{\frac{1}{n}} tous les termes de la suite sont dans n'importe quel interval centre en 0
3$\rm \red\underline{donc U_n converge vers 0}


@+ sur l' _ald_

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:03

Bah quoi ,il nous demande de partir de la définition de la convergence d'une suite pour prouver celle de Un c'est ce que je fais

Posté par
H_aldnoerre : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:05

oui

la definition etant donne

définition : l appartenant a R .dire qu'une suite U converge vers l signifie que tt intervale ouvert contenant l contient tt les termes de la suite U a partir d'un ceratin rang

Posté par Frip44 (invité)re : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:07

C'est vrai Nightmare que là, je n'ai as cherché à comprendre ton post, j'ai abandonné aux premières lignes, je m'y mettrais demain je crois loool chapeau encore une fois !!! c'est remarquable !!!

Posté par dorastella (invité)re : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:11

merci beaucoup vous etes au top

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:12

Boh , c'est pas si difficile à comprendre que ça

Avec un peu de courage


Jord

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:13

Posté par
H_aldnoerre : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:13



et moi je comprend pas pk il s'agit de demontrer ceci ... des la premiere ligne ..

Posté par Frip44 (invité)re : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:14

Vi mais il le faut ce courage Nightmare, et ce soir, il m'abandonne un peu lool :D

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:19

Re H_aldnoer

|U_{n}|\le \epsilon\Longleftrightarrow -\epsilon\le U_{n}\le \epsilon

et démontrer que quelque soit \epsilon>0 , il existe un N entier tel que pour tout n non nul :
n\ge N\Longrightarrow -\epsilon\le U_{n}\le \epsilon revient bien à démontrer que pour tout intervalle (en l'occurence ici [-\epsilon,\epsilon] qu contient 0 contient tout les termes U_{n} de (Un) à partir d'un certain rang (ici ce rang est N)


Jord

Posté par
H_aldnoerre : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:22



je sais pas quoi dire ... tu sais tout !

Posté par
Nightmarere : suite convergentes pour demain 10-05-05 à 22:24

Oula , peut-être pas tant


Jord


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