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Suite définie par une fonction
Bonjour à tous,
Je ne sais pas si l'exercice a déjà été proposé, mais je me permets de le poster ici car j'ai de grosses lacunes en maths..
On a f(x)=
[ (1+x)/2 ]
U0 
[-1,1]
Un+1=f(Un)
Je vous écris les questions qui me posent problème.
On me demande d'étudier la branche infinie de la fonction f. Il me semble qu'il faut alors étudier la limite de f(x)/x quand x tend vers +
, mais je n'arrive pas à calculer la limite ... :/
Ensuite, on me demande de montrer que la suite (Un) est monotone. Mais j'ai l'impression que dans ce cas, il faut que j'étudie le cas où U0 est supérieur à U1 et également le cas inverse ... (?) pour faire ensuite une récurrence simple pour faire mon initialisation
Ensuite, j'ai démontré que pour tout n dans 
, Un= cos(a/2n) avec a dans [0,
]
et que ( 1-cos(u) )/u2 tend vers 1/2 quand u tend vers 0
Je dois alors trouver la limite de 4n(1-Un) quand n tend vers +
J'ai bien remplacé Un par son expression avec cos, mais je ne parviens pas à répondre à la question :/
Merci par avance à celui/celle qui voudra bien m'aider !
Il faut bien calculer la limite de f(x)/x en l'infini. Le x au dénominateur étant prépondérant sur la racine au numérateur, la limite est nulle donc branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
f étant croissante, u1 et u2 sont rangés dans le même ordre que u0 et u1 et ainsi de suite par récurrence. La suite est donc monotone. Pour savoir si elle est croissante ou décroissante il faut en effet déterminer si u0<u1 ou u0>u1, c'est-à-dire si x<f(x) ou f(x)>x, en étudiant le signe de f(x)-x. Un graphique peut aider.
Pour la dernière limite, pose u = a/2n, alors u²=a²/4n donc 4n=a²/u² et tu peux ensuite te servir de la limite 1/2 que tu as calculée.
- Pour la prépondérance du x au dénominateur, comment puis-je la démontrer ?
- Pour l'étude de f(x)-x, j'ai coupé en deux l'étude: si x positif et si x dans [-1,0]
Je trouve que f(x)
x si et seulement si x dans [-1/2 , 0] et si x1
Cela vous paraît-il correct ?
Merci beaucoup pour votre aide !
Tu peux démontrer en écrivant f(x)/x = (1/x)
x(1/x + 1)/2 = (1/x)(1/x + 1)/2.
1/x tend vers 0 et (1/x + 1)/2 tend vers 1/2 en l'infini, d'où le résultat.
Pour l'étude de f(x)-x :
si x<0, f(x)-x est clairement positif puisque f est positif
si x>0, f(x) > x équivaut en mettant au carré à (1+x)/2 > x² c'est-à-dire à (x-1)(x+1/2) < 0, donc à x-1 < 0 (car x positif), donc à x < 1
En résumé, f(x) - x est positif si x < 1, négatif sinon.
On p écrire :
Tu as
et d'où
;
comme , Cf admet une branche parabolique de direction l'axe horizontale.
Ensuite,(expression conjuguée)
Pour la récurrence, utilise le fait que f est croissante.
On sait que
donc
Excusez-moi de vous redéranger, mais pensez-vous que la suite (Un) converge ? Elle est certes croissante, mais est-il possible de démontrer qu'elle est majorée ?
Elle est croissante si u0<1, décroissante sinon.
Dans les deux cas elle converge vers 1 (point fixe).
Comme
on a toujours
; ( si
; en fait pour
, j'ai oublié un carré donc on obtient:
=
et on vérifie que le numérateur est positif pour
, donc on a aussi
quand
; a partir de la
est croissante (la récurrence étant amorcée); bien sûr la condition
est essentielle.
Pour la limite de , c'est évident puisque
; on a
donc
.
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