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Suite définie par une fonction

Posté par
jp75015
20-08-14 à 12:38

Bonjour à tous,
Je ne sais pas si l'exercice a déjà été proposé, mais je me permets de le poster ici car j'ai de grosses lacunes en maths..

On a f(x)=[ (1+x)/2 ]
U0 [-1,1]
Un+1=f(Un)

Je vous écris les questions qui me posent problème.
On me demande d'étudier la branche infinie de la fonction f. Il me semble qu'il faut alors étudier la limite de f(x)/x quand x tend vers +, mais je n'arrive pas à calculer la limite ... :/

Ensuite, on me demande de montrer que la suite (Un) est monotone. Mais j'ai l'impression que dans ce cas, il faut que j'étudie le cas où U0 est supérieur à U1 et également le cas inverse ... (?) pour faire ensuite une récurrence simple pour faire mon initialisation

Ensuite, j'ai démontré que pour tout n dans , Un= cos(a/2n) avec a dans [0,]
et que ( 1-cos(u) )/u2 tend vers 1/2 quand u tend vers 0
Je dois alors trouver la limite de 4n(1-Un) quand n tend vers +
J'ai bien remplacé Un par son expression avec cos, mais je ne parviens pas à répondre à la question :/

Merci par avance à celui/celle qui voudra bien m'aider !

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 12:57

Il faut bien calculer la limite de f(x)/x en l'infini. Le x au dénominateur étant prépondérant sur la racine au numérateur, la limite est nulle donc branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 12:59

f étant croissante, u1 et u2 sont rangés dans le même ordre que u0 et u1 et ainsi de suite par récurrence. La suite est donc monotone. Pour savoir si elle est croissante ou décroissante il faut en effet déterminer si u0<u1 ou u0>u1, c'est-à-dire si x<f(x) ou f(x)>x, en étudiant le signe de f(x)-x. Un graphique peut aider.

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 13:01

Pour la dernière limite, pose u = a/2n, alors u²=a²/4n donc 4n=a²/u² et tu peux ensuite te servir de la limite 1/2 que tu as calculée.

Posté par
jp75015
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 13:15

- Pour la prépondérance du x au dénominateur, comment puis-je la démontrer ?

- Pour l'étude de f(x)-x, j'ai coupé en deux l'étude: si x positif et si x dans [-1,0]
Je trouve que f(x)x si et seulement si x dans [-1/2 , 0] et si x1
Cela vous paraît-il correct ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 13:59

Tu peux démontrer en écrivant f(x)/x = (1/x)x(1/x + 1)/2 = (1/x)(1/x + 1)/2.

1/x tend vers 0 et (1/x + 1)/2 tend vers 1/2 en l'infini, d'où le résultat.

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 14:03

Pour l'étude de f(x)-x :

si x<0, f(x)-x est clairement positif puisque f est positif

si x>0, f(x) > x équivaut en mettant au carré à (1+x)/2 > x² c'est-à-dire à (x-1)(x+1/2) < 0, donc à x-1 < 0 (car x positif), donc à x < 1

En résumé, f(x) - x est positif si x < 1, négatif sinon.

Posté par
Francchoix
aide 20-08-14 à 14:12

On p écrire :  \frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}}{x}
=\frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}}{x(\frac{x+1}{2})(\frac{2}{x+1})}
=\frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}}{(\frac{x+1}{2})}(\frac{2x}{x+1})
Tu as    \lim_{x \to +oo}\frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}}{(\frac{x+1}{2})}=0

et   \lim_{x \to +oo}(\frac{2x}{x+1})=2   d'où   \lim_{x \to +oo}\frac{f(x)}{x}=0 ;

comme  \lim_{x \to +oo}f(x)=+oo, Cf admet une branche parabolique de direction l'axe horizontale.

Ensuite, U_1-U_0=f(U_o)-Uo=(1-U_0)/2(f(U_0)+U_o)\geq 0(expression conjuguée)

Pour la récurrence, utilise le fait que f est croissante.


On sait que   \lim_{n \to +oo} \frac{1-cos(\frac{a}{2^n})}{\frac{a^2}{4^n}}=\frac{1}{2}
 \\

donc 4^n(1-cos(\frac{a}{2^n}))->\frac{a^2}{2}

Posté par
jp75015
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 15:37

Merci énormément pour vos aides !

Posté par
jp75015
re : Suite définie par une fonction 20-08-14 à 20:08

Excusez-moi de vous redéranger, mais pensez-vous que la suite (Un) converge ? Elle est certes croissante, mais est-il possible de démontrer qu'elle est majorée ?

Posté par
blumaise
re : Suite définie par une fonction 21-08-14 à 01:43

Elle est croissante si u0<1, décroissante sinon.

Dans les deux cas elle converge vers 1 (point fixe).

Posté par
Francchoix
complément 22-08-14 à 11:41

Comme U_0 [-1;1] on a toujours    U_o\leq U_1 ; ( si   U_0<0, U_1\geq 0); en fait pour U_0\geq 0, j'ai oublié un carré donc on obtient:  

U_1-U0=f(U_0)-U_0=\frac{f^2(U_0)-U_0^2}{f(U_0)+U_0}=\frac{-2U_0^2+U_0+1}{2(f(U_0)+U_0)} et on vérifie que le numérateur est positif pour   U_0 [-1/2;1], donc on a aussi  U_o\leq U_1 quand U_o\geq 0 ; a partir de la (U_n) est croissante (la récurrence étant amorcée); bien sûr la condition  U_0 [-1;1]  est essentielle.

Pour la limite de (U_n), c'est évident puisque U_n=cos(\frac{a}{2^n}); on a \lim_{n\to +oo} \frac{a}{2^n}=0  donc \lim_{n\to +oo} U_n=\lim_{u\to 0} cos(u)=1.



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