y a t il une manière spéciale pour calculer :
a^4-b^4 = ?
car je dois calculer la somme
Zn=1^3+2^3+3^3+...+n^3
et pour cela je dois développer (i+1)^4-i^4
et je dois en déduire que Zn=(1+2+..+n)²
help !!
Pour calculer a^4-^b^4=(a-b)^4
Donc pour développer (i+1)^4-i^4 je pense que tu dois faire (i+1-i)^4
Je ne peux pas laisser passer une erreur pareille...
a^4-b^4 n'est surtout pas égal à (a-b)^4.
Pour développer (i+1)^4, on multiplie (i+1)²*(i+1)²
(i²+2i+1)(i²+2i+1)=i^4+4i^3+6i²+4i+1
Si on enlève i^4, on obtient :
(i+1)^4-i^4=4i^3+6i²+4i+1
@+
je me suis mal exprimé
on veut calculer Zn=1^3+2^3+...+n^3
on a l'égalité (i+1)^4=i^4=4i^3+6i²+4i+1
Si j'écris les n égalités pour i variant de 1 à n j'obtient:
.... [A]
[B]
(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+...+n^3) + 6(1²+2²+...+n²)+4(1+2+...+n)+(1+1+...+1)
..... [C] ... [n]
(n+1)^4-1^4=4A+6B+4C+n
4A=[(n+1)^4-1^4]-[6B+4C+n]
c la que jem'embrouille car ne connais pas a^4-b^4
or je connais B=n(n+1)(2n+1)/6
.. C= n(n+1)/2
je crois que que je dois trouver Zn= (1/4)n²(n+1)² mais je n'en
suis pas sur !!
merci HELP !!
les [A] [B] [C] [n] sont mal sorti, ils sont audessus desparenthèses
après le =
voila
Bonjour,
Ce que tu cherches, c'est A et tu sais que :
4A=[(n+1)^4-1^4]-[6B+4C+n]
6B=n(n+1)(2n+1)
4C=2n(n+1)
et enfin il faut factoriser (n+1)^4-1 (et non pas le développer)
(n+1)^4-1=((n+1)²+1)((n+1)²-1)=((n+1)²+1)n(n+2)
On peut donc factoriser n :
4A=n[((n+1)²+1)(n+2)-(n+1)[2n+1+2]-1]
4A=n(n+1)[(n+1)(n+2)+1-2n-3]=n(n+1)[n²+n]=n²(n+1)²
D'où le résultat.
J'ai effectué très rapidement les calculs des deux dernières lignes, essaye
de les refaire et n'hésite pas à poser des questions si nécessaires.
@+
or je connais B=n(n+1)(2n+1)/6
.. C= n(n+1)/2
Si cela t'intéresse:
Autre méthode pour montrer que:
1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)²
Méthode par récurrence.
Supposons que l'expression 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² soit vraie
pour une certaine valeur k de n, on a alors:
1³+2³+3³+...+k³ = (1+2+3+...+k)²
1³+2³+3³+...+k³ + (k+1)³ = (1+2+3+...+k)² + (k+1)³ (1)
1 + 2 + ... + k = k.(k+1)/2 (car somme de k nombres en progression
arith. de raison 1 et de premier terme = 1)
(1 + 2 + ... + k)² = k².(k+1)²/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² = (k+1)².(k+2)²/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(k+2)²/4]-[k².(k+1)²/4]
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(k²+4k+4)-k²(k²+2k+1)]/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(4k+4)]/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = (k+1)³ (2)
(1) et (2) ->
1³+2³+3³+...+k³ + (k+1)³ = (1 + 2 + ... + (k+1))²
qui est l'expression 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² dans laquelle
n = k+1.
---
Donc si l'expression 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie
pour une certaine valeur k de n, elle est encore vraie pour n = k+1.
Cette expression est vraie pour n = 0 (car 0³ = 0²)
Comme 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 0, elle est
vraie pour n = 1
Comme 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 1, elle est
vraie pour n = 2
Comme 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 2, elle est
vraie pour n = 3
Et ainsi de proche en proche, 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est
vraie pour tout n de N
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Sauf distraction.
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