salut
c'est les vacances alors un petit pb ... dont je n'ai pas la réponse ...
pour n entier non nul on considère la fonction et les suites et dont les termes sont les solutions de l'équation avec
et tendent respectivement vers 0 et +oo mais ...
quelle est la limite de la suite avec ? si tant est qu'elle en a une ...
éventuellement peut-on en avoir un développement asymptotique ?
have some fun
PS : il n'est pas nécessaire de blanker ... plutôt un travail collaboratif tendant vers une plus juste vérité ...
Bonjour,
Que des conjectures pour l'instant:
(ça, c'est facile à prouver).
(ça, c'est une conjecture dont je ne suis pas absolument sûr).
Il faudrait donc prouver que
pour v_n on peut faire mieux :
posons
donc ce me semble-t-il ...
mais pour u_n je n'ai aucune idée ...
Oui, ça à l'air vrai mais il faudrait préciser que:
(puisque ) et que le petit o final est positif non ?
ben disons qu'on a (et on peut même mettre des inégalités strictes ...
je ne pense pas que le signe de o(1/n) importe ...
par contre s'arrêter à l'ordre 1 est peut-être insuffisant suivant ce que donne ... dont je n'ai aucune idée ...
tu donnes une minoration de u_n (conjecture) mais il nous faudrait en fait un encadrement (pour tenter le théorème de gendarmes éventuellement par la suite)
pour v_n en fait il faudrait poser ... et recommencer !!!
En faisant quelques expériences, on constate que un vn est très proche de -ln(un).
Reste à le démontrer.
En fait tend vers et tend vers quand tend vers l'infini.
Leur produit tend donc vers .
Or a pour développement asymptotique en plus l'infini
Avec la fonction W de Lambert
C'est pas très clair comment je suis arrivé à cette conclusion, j'ai fait beaucoup d'approximation et quelques erreurs Mais ça marche bien .
bonjour
@lafol
Je sens que j'ai fait quelque chose d'horrible pour un mathématicien mais étant un ingénieur, je ne vois pas
Peux tu être plus explicite?
Soit .
Après quelques (petits) calculs:
Une étude de la fonction sur (avec un minimum positif en ) permet de prouver que la parenthèse est positive.
Donc , la conjecture est prouvée et la suite tend vers
ha oui merci lake j'ai zappé l'idée que la limite pouvait être infinie !!!
le numérateur est :
ouais ... comment montrer que ce nombre est positif ...
merci lake ... tout simplement !!!
je me suis bien compliqué la vie ... en voulant tout mettre (ou presque) dans un seul ln
(je n'ai pas vu ton msg au moment où j'ai commencé à bricoler)
Tout ça est quand même un tantinet laborieux.
Un perroquet ou un jandri, s'ils passaient par ici, nous sortiraient directement un développement asymptotique...
je ne sais pas mais ça serait avec plaisir ...
en particulier pour confirmer mon développement de 17h04 (et obtenir plus) et pour obtenir un développement de u_n aussi ...
Puisque . Le développement asymptotique de la branche >-1/e de W en +infini donne
Je ne suis pas d'accord, sauf erreur, avec le DA de plus haut car si on aurait
, ce qui impliquerait .
J'ai pu me tromper, j'ai fait les calculs vite fait, à vérifier...
L'étape suivante est de calculer un DA de n-u_n, de le factoriser par n pour avoir un DL du type ln(1+x). Ensuite, remplacer dans la formule du DA de -ln(un) ci-dessus, et (peut-être) voir apparaitre quelque chose de plus simple que cette horreur. J'ai pas le courage d'essayer
Bonjour,
je passe par là mais je ne peux pas sortir directement un développement asymptotique!
Je peux donner une méthode qui permet de calculer les développements asymptotiques avec une précision aussi grande que l'on veut mais les calculs sont vite rébarbatifs.
1) Pour la formule donnée par carpediem le 21-12-19 à 17:04 permet de le faire :
avec
En reportant dans on obtient d'abord :
Puis :
(sauf erreur de calcul).
2) Pour on peut utiliser, en posant :
. Le dernier terme étant négligeable devant tous les termes ayant une puissance de au dénominateur on peut le négliger.
En reportant dans on obtient : (sauf erreur de calcul).
ha oui en reportant dans on a plus mieux bien !!!
merci jandri ...
mais une question : pourquoi poses-tu pour ... ce que tu poses ?
Pour un développement asymptotique de j'ai cherché à écrire une formule permettant d'augmenter la précision à chaque étape.
J'ai d'abord recherché un équivalent de en écrivant (on voit tout de suite que tend vers 0). En prenant le logarithme on obtient : puisque est négligeable devant qui tend vers .
On obtient d'où enfin .
Ensuite j'ai posé (donc tend vers 1). En remplaçant dans on obtient l'égalité . En négligeant le dernier terme on obtient une égalité qui se prête bien à l'augmentation de la précision à chaque étape.
ok merci ... je ne comprenais pas car ton w_n ne correspond pas à mon w_n : le produit u_n * v_n ...
@carpediem
J'avais oublié que tu avais déjà utilisé pour le produit .
Pour celui-ci seul le développement asymptotique de intervient car on peut négliger tous les termes de qui ont une puissance de au dénominateur. On obtient :
Oh tiens, c'est bizarre, ça ressemble tout à fait au développement asymptotique de dont je parle depuis le début
En posant on obtient facilement .
Or la fonction est quasi verticale pour les . Ce qui donne
De l'autre côté, quand est négatif, et donc .
Posant on obtient et donc .
Et pour finir .
Donc , et .
@ LittleFox
c'est vrai que le développement asymptotique de est le même que celui de la fonction de Lambert mais celui-ci n'est pas aussi simple que tu l'écris : les coefficients qui interviennent ne sont pas du tout les coefficients binomiaux et je ne crois pas qu'il y ait de formule simple pour les exprimer.
@ LittleFox
je rectifie ce que je viens d'écrire, il y a bien une formule.
Dans ta formule il faut remplacer le coefficient binomial par où désigne le coefficient de Stirling de première espèce. Il faut également faire aller de à .
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